初一复习|苏科版 3.3 整式的加减(一):单项式、多项式、整式
- 2026-10-15 04:56:57
上一节我们把代数式写规范了。可写出来的式子长得越来越不一样——有的一串乘法，有的中间夹着加号减号。
这一节的任务很单纯：给它们归归类，起个名字。
3.3 整式的加减要分好几课时，这一课时只解决一件事——它叫什么。
🧊 三个立体图形，五个式子
课本开篇的三个情境：棱长 a 的正方体、300 km/h 的列车、底面半径 r 的圆柱
课本开篇给了三个问题：
① 正方体的棱长为 a，正方体的体积和表面积分别是多少？ ② 列车以 300 km/h 的速度行驶了 t h，行驶了多少路程？ ③ 圆柱的底面半径和高分别为 r、h，圆柱的底面积和体积分别是多少？
列出来：
① a³，6a² ② 300t ③ πr²，πr²h
接着课本问了一句：上面列出的代数式，有什么特征？
五个式子逐个拆开：数字部分和字母部分分列出来，最右边那列是未知量
把这五个式子一个个拆开看：a³ 是 1 × a³，6a² 是 6 × a²，300t 是 300 × t，πr² 是 π × r²，πr²h 是 π × r²h。
每一个都是"一个数乘上一串字母"。 这就是它们的共同特征。
单项式 像这样，由数与字母的积组成的代数式，叫作单项式。 课本还补了一句：单独一个数或者单独一个字母，也是单项式。
π 是数字，不是字母。 π 是一个确定的数，约等于 3.14。它站在"数"的位置上。 很多人一看 πr² 里有个字母样的符号，就把它算进次数里——那是不对的。
🏷️ 单项式的两件行李：系数和次数
系数与次数单项式中的数字因数，叫作单项式的系数。单项式中所有字母的指数的和，叫作单项式的次数。 另外：如果一个单项式不含字母，就称它的次数是 0。
课本给了三个例子：x/2 的系数是 1/2，次数是 1；−2a² 的系数是 −2，次数是 2；abc 的系数是 1，次数是 3。
九个单项式排成一张表，逐个标出系数和次数，红底六行是易错
这几行要一品一品地看，每一行都藏着一个坑：
系数要连符号一起拿。 −2a² 的系数是 −2，不是 2。 单项的字母，系数是 1。 abc 的系数是 1，因为 abc 就是 1 × abc。那个 1 是藏起来的。 分母上是数字的，照样是单项式。 x/2 就是 1/2 × x，系数是 1/2，不是 2。 πr² 的系数是 π。 因为 π 是数，所以它整块都是"数字因数"。 不含字母的单项式，次数是 0。 比如 −2024。
来一组判断练手：
下列各式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数。 ① −m ② x ＋ 1 ③ 2³xy³ ④ (a ＋ b)h ⑤ πr² ⑥ 1/n
单项式有 ①③⑤ 三个： ① −m：系数 −1，次数 1（那个符号和那个 1，都是藏起来的） ③ 2³xy³：系数 8，次数 1 ＋ 3 ＝ 4。这里的 2³ 是系数，不是次数——系数自己的指数不算进次数里。 ⑤ πr²：系数 π，次数 2 ② 里有加法，是多项式；④ 展开就是 ah ＋ bh，也是多项式；⑥ 的分母上有字母，连整式都不是。
➕ 加起来，就叫多项式
例 1 的两块草坪：长方形面积 ab，环形面积 πR² − πr²，合起来是三项
课本的例 1 要在长方形和环形两块地上铺草坪。
长方形草坪：长 a、宽 b，面积是 ab 环形草坪：外圆半径 R、内圆半径 r，面积是 πR² − πr² 一共要草皮：ab ＋ πR² − πr²
这个式子看着比前面复杂，可它其实就是三个单项式加起来：
ab ＋ πR² ＋ ( −πr² )
多项式可以看作几个单项式的和的代数式，叫作多项式。 多项式里，每个单项式叫作多项式的项；次数最高的那一项的次数，叫作这个多项式的次数；不含字母的项叫作常数项。单项式和多项式统称整式。
课本的例子：多项式 n − 2 的次数是 1，其中 −2 是常数项；多项式 ab ＋ πR² − πr² 的次数是 2。
两件事最容易含糊。 ① 每一项都要带上它前面的符号。 ab ＋ πR² − πr² 的三项是 ab、πR²、−πr²，第三项是负的，别只抄个 πr²。 ② 次数是"最高的那一项"，不是加起来。 这三项的次数都是 2，最高是 2，所以整个多项式是 2 次。 （ab 次数 1＋1＝2，πR² 次数 2，πr² 次数 2。)
单项式和多项式并列，合起来就是整式
单项式和多项式是两个并列的概念，谁也不是谁的一种，合起来统称整式。 名字的来历也顺口一提：单项式是 monomial，多项式是 polynomial，整式是 integral expression——poly- 就是"多"的意思。
写出下列多项式的次数和各项： （1）2a² ＋ 1 （2）−3a ＋ 2a² ＋ 1
（1） 次数是 2，两项分别是 2a² 和 1。（2） 课本先说了一句"写成 2a² − 3a ＋ 1"——这只是改写，不是计算，就是把各项按 a 的指数从大到小排个队。 排完之后看：次数是 2，三项分别是 2a²、−3a、1。
这个"排队"有正式名字：降幂排列。 按某个字母的指数从大到小排，叫降幂；从小到大排，叫升幂。 排队不改变式子的值，只是让它更有条理——后面几节课要做的合并、加减，都得先排队。
次数和项数都写出来，还能合着说一句：二次二项式、二次三项式。
🛒 生活里的整式
一、水果摊上的四个式子
超市货架上的标价就是单价，乘上买的数量，正好列成一个单项式
课本练习给了一串用式子表示数量的题，正好把单项式和多项式各考一遍：
用代数式表示下列数量，并指出它是单项式还是多项式。 ① 一个三位数，百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c。这个三位数是多少？ ② 一瓶红茶 x 元，小亮买了 m 瓶。应付多少元？ ③ 某超市苹果 a 元/kg、香蕉 b 元/kg。买 2 kg 苹果和 3 kg 香蕉，需花费多少元？ ④ 小明沿着一条跑道跑 3 km 后，又以 4 km/h 的速度继续慢跑了 t h。小明一共跑了多少？
① 100a ＋ 10b ＋ c（多项式） ② mx 元（单项式） ③ (2a ＋ 3b) 元（多项式） ④ (3 ＋ 4t) km（多项式）
第 ① 题是这一串里最容易错的。 a 站在百位上，它代表的是 100a；b 站在十位上，是 10b；c 在个位上，就是 c。 直接写成 abc 就成了一个乘积，那是完全不同的东西——位置决定了它是几个"十"、几个"百"。
二、跑道上的两段路
先跑完的 3 km 是一段，后面慢跑的 4t 是另一段，合起来才是总路程
把第 ④ 题拆开看看，3 ＋ 4t 这个式子很值得看一眼。
先跑的那一段：3（km）——就是一个数，没有字母 后面慢跑的那一段：4t（km）——速度 × 时间 一共：3 ＋ 4t（km）
3 和 4t 中间是加号，所以这是两项。两项里谁的次数高？ 4t 的次数是 1；3 里没有字母，次数是 0。 所以 3 ＋ 4t 是 1 次多项式，而那个 3 就是它的常数项。 ——"不含字母的项，次数是 0"这条规矩，正是为这种时候准备的。
🚀 思维提升
一、拿到一个式子，先问三步
三步判断：先看分母、再看加减、最后确认是不是纯乘法
三步走 ① 分母里有没有字母？有 → 不是整式，也就不可能是单项式或多项式。 ② 式子里有没有加减？有 → 多项式。 ③ 全是乘法、分母上也没有字母？→ 单项式。
拿三步走练一组：
判断下列各式的身份。 ① 1/n ② (x² − y²)/2 ③ ab ④ 2mn ＋ m² ＋ 5 ⑤ x ＋ 1/y ⑥ ab/5
① 都不是——分母上有字母 n。 ② 多项式。分母上的 2 是个数，不是字母，别被分数吓住。它其实就是 (1/2)x² − (1/2)y²，两个单项式的和。 ③ 单项式，系数 1，次数 2。 ④ 多项式，三项。 ⑤ 都不是——1/y 的分母上有字母。 ⑥ 单项式，系数 1/5。
② 和 ⑥ 是同一件事的两种问法。分母上是数字，不影响它是单项式还是多项式，只影响系数。 真要是"分母里含字母"，那就连整式都不是了。
二、知道次数，反过来求字母
由次数列方程反求字母：x 的指数、y 的指数分别算、加起来等于给定次数
已知 −3xyᵗ 是五次单项式，求 t 的值。 次数是所有字母的指数的和：x 的指数是 1，y 的指数是 t。 1 ＋ t ＝ 5，所以 t ＝ 4。
再练一道带分数的：
已知 −(3/2)·x²yᵐ⁻¹ 是五次单项式，求 m 的值。 x 的指数是 2，y 的指数是 m − 1，系数 −(3/2) 不参与次数。 2 ＋ (m − 1) ＝ 5，所以 m ＝ 4。
三、七次多项式
已知 −8x²yᵐ⁺² − xy³ ＋ x 是关于 x、y 的七次多项式，求 m 的值。 把三项的次数分别算出来： −8x²yᵐ⁺²：2 ＋ (m ＋ 2) ＝ m ＋ 4 −xy³：1 ＋ 3 ＝ 4 x：1 "七次"说的是这三项里最高的那个等于 7。m ＋ 4 显然最大： m ＋ 4 ＝ 7，所以 m ＝ 3。验一下：2 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 7 ✓，另两项是 4 和 1，都没超过它 ✓
这类题的通法只有一句：把每一项的次数分别算出来，再用"最高"这条去列方程。 别一上来就想"总共七次"——多项式的次数从来不是加出来的。
四、三次二项式
已知 3xⁿ − (m − 1)x ＋ 1 是关于 x 的三次二项式，求 m、n 的值。先看"三次"：三项里最高的次数是 3，所以 xⁿ 的次数 n ＝ 3。再看"二项"：这个多项式只该有两项，可它明明白白写了三个东西——说明有一项整个消失了。 只有当 (m − 1)x 的系数是 0 时，那一项才不存在： m − 1 ＝ 0，所以 m ＝ 1。验一下：m ＝ 1 时式子变成 3x³ ＋ 1，正好是三次二项 ✓
⚠️ 五个易错点
π 是数字，不是字母。 πr² 的系数是 π，次数是 2（只有 r 的指数算数）。同理 −(2πab)/3 的系数是 −2π/3，不是 −2/3。
系数要带上符号，藏起来的 1 也要找出来。 −3a²b 的系数是 −3；单独一个 a，系数是 1；单独一个 −a，系数是 −1。
次数只算字母的指数，别看错地方。 2³xy³ 的次数是 1 ＋ 3 ＝ 4。那个 2³ 是系数（8），系数自己的指数不能当成字母的指数一起算。
分母上有字母，就什么都不是。 1/n、x ＋ 1/y 既不是单项式，也不是多项式，更不是整式。反过来，分母上是数字的（x/2、ab/5）照样是单项式，只是系数带了个分数。
多项式的次数取"最高的那一项"，不是加起来的。 说"几次几项式"时，项数要数准，而且每一项都得带上它前面的符号——ab ＋ πR² − πr² 的三项是 ab、πR²、−πr²。
✍️ 练一练（答案在最后）
1. 下列各式中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
① x² ＋ y² ② −x ③ 10 ④ 6xy ＋ 1 ⑤ 2x² − x − 5 ⑥ m²n ⑦ a⁷ ⑧ 1/n
2. 说出下列单项式的系数和次数：
① y⁹ ② −(5x²y)/6 ③ −(m²n)/2 ④ −5xy
3. 说出下列多项式的次数、各项以及各项的系数：
① 3a² ＋ πb³ ② xy ＋ 1 ③ m²/2 − m/3 ④ −0.5a³b² ＋ a²b³
4. 用代数式表示下列数量，并指出是单项式还是多项式：
① 一个三位数，百位数字是 a，十位数字是 b，个位数字是 c ② 一瓶红茶 x 元，小亮买了 m 瓶，应付多少元 ③ 苹果 a 元/kg、香蕉 b 元/kg，买 2 kg 苹果和 3 kg 香蕉需花费多少元 ④ 小明跑 3 km 后，又以 4 km/h 的速度慢跑了 t h，一共跑了多少
5. 把多项式 1 ＋ 2x⁵y − 3xy³ − 4x³y² 按 x 的降幂排列。
挑战：一个关于字母 a、b 的多项式，每一项的次数都是 3。这个多项式最多有几项？试写出一个符合要求的。思路：每一项的次数都是 3，而字母只有 a、b 两个。那这一项只能是 a³、a²b、ab²、b³ 这四种之一（两个字母的指数加起来正好等于 3）。 所以最多 4 项，比如 a³ ＋ a²b ＋ ab² ＋ b³。验一下：a³ 次数 3；a²b 次数 2 ＋ 1 ＝ 3；ab² 次数 1 ＋ 2 ＝ 3；b³ 次数 3。每一项都是 3 次 ✓
提示：第 1 题先过"分母上有没有字母"这道关；第 3 题别漏掉 π 和那个孤零零的 1；第 5 题排队时只看 x 的指数，y 是配角。
参考答案：1. 单项式：② −x、③ 10、⑥ m²n、⑦ a⁷ 多项式：① x² ＋ y²、④ 6xy ＋ 1、⑤ 2x² − x − 5 整式：前七项都是。⑧ 1/n 的分母上有字母，不是整式。2. ① y⁹：系数 1，次数 9 ② −(5x²y)/6：系数 −5/6，次数 3 ③ −(m²n)/2：系数 −1/2，次数 3 ④ −5xy：系数 −5，次数 23. ① 3a² ＋ πb³：3 次，两项 3a²、πb³，系数分别是 3 和 π（三次二项式） ② xy ＋ 1：2 次，两项 xy、1，系数分别是 1 和 1（二次二项式） ③ m²/2 − m/3：2 次，两项 m²/2、−m/3，系数分别是 1/2 和 −1/3（二次二项式） ④ −0.5a³b² ＋ a²b³：5 次，两项 −0.5a³b²、a²b³，系数分别是 −0.5 和 1（五次二项式）4. ① 100a ＋ 10b ＋ c（多项式） ② mx 元（单项式） ③ (2a ＋ 3b) 元（多项式） ④ (3 ＋ 4t) km（多项式）5. x 的指数分别是：2x⁵y 是 5，−4x³y² 是 3，−3xy³ 是 1，1 是 0。 降幂排列：2x⁵y − 4x³y² − 3xy³ ＋ 1
📌 本文由 Claude Code（AI 实验） 生成，内容仅供初一复习参考，表述以你老师的课堂为准。发现错误请告诉我，我马上改。
