《第三章 函数的概念与性质》小结与复习 3课时整合教学设计

（普通高中教科书·数学A版 必修第一册）

整体设计总纲

一、教材与课标分析

本节课包含本章知识结构图、回顾与思考3个核心问题、复习参考题3（共14题，分层：复习巩固、综合运用、拓广探索）。依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》，本章核心要求：建立完整函数概念；能用代数运算、函数图象揭示函数性质；能在现实情境构建函数模型解决问题。教材编写逻辑：知识结构图（搭建框架）→回顾与思考（问题引领深度反思）→复习参考题（分层训练）。教学定位：本章是高中函数学习首个完整学习循环，从现实背景、函数概念与表示、基本性质、幂函数到函数应用；本章形成的研究范式（事实→概念→性质→具体函数→应用）是后续指数、对数、三角函数学习的方法论基础。

二、课时整体规划

整体教学理念：以学生自主建构为核心，以教材“回顾与思考”三个问题为主线，习题分层递进；突出知识结构化、思维进阶化、探究活动化、素养一体化，兼顾知识回顾、方法提炼、能力迁移，避免复习课单纯刷题。

第1课时 知识梳理与概念深化：函数概念与表示

一、内容和内容解析

1. 内容

梳理第三章全章知识结构；依托教材“回顾与思考”问题①②，对比初中变量说与高中集合对应说，理解函数三要素、 符号含义；辨析解析法、图象法、列表法三种表示方法的特点与适用场景；完成复习参考题第1、2、3题，练定义域求解、函数代换求值、简单函数性质代数验证。

2. 内容解析

函数是高中数学主线，本章完成从**变量依赖（初中变量说）到数集间确定对应（高中对应说）**的认知跃升。集合语言定义的函数，精准定义三要素，支撑函数运算、性质研究。函数三种表示法各有优劣：解析法便于代数运算推导；图象法直观呈现变化趋势；列表法适合离散数据直接查值。实际问题中，要根据情境灵活选择、相互转化。复习参考题1、2、3是基础把关习题：定义域考察解析式限制条件的交集运算；函数求值训练符号  的代入运算；第3题初步训练代数变形验证函数恒等式，为奇偶性铺垫。

3. 知识联系

承上：整合新课3.1函数概念与表示全部内容；启下：为本章函数性质、幂函数、应用问题复习搭建概念基础。

二、目标和目标解析

教学目标

1. 1. 知识目标：能自主梳理本章知识结构图，用集合对应语言描述函数定义；说出函数三要素，辨析两个函数为同一函数的判定条件；对比三种函数表示方法的特点。
2. 2. 技能目标：能规范求解含根式、分式复合结构的函数定义域；熟练完成函数代入求值（含字母代换）；会代入自变量验证简单函数恒等关系。
3. 3. 素养目标：在函数概念演进对比中发展数学抽象；在定义域、函数值运算中强化数学运算；在三种表示法转换中发展直观想象。

目标解析

• • 达成知识目标：学生能说出初中变量说与高中对应说的异同，明确判断同一函数只需比较定义域、对应关系；能结合实例说明三种表示法适用场景。
• • 达成技能目标：遇到多限制条件定义域问题，能列出全部约束条件、求交集；能正确完成 、 这类含字母的函数代入化简。
• • 达成素养目标：能体会“对应说”引入集合语言带来的严谨性，理解  代表对应规则而非某个变量。

三、教学重难点

• • 重点：函数三要素的理解；函数定义域求解；三种表示方法的特点与灵活选用。
• • 难点：理解函数从“变量说”升级到“对应说”的必要性；多个限制条件下定义域的交集求解；区分不同表示法的适用场景。

四、教学问题诊断分析

1. 1. 认知基础：学生新课学完本章，能识别简单函数，会求基础定义域，但知识碎片化，缺少整体框架；对函数概念仍停留在初中变量视角。
2. 2. 潜在困难
• • 混淆“变量说”与“对应说”，不理解值域是集合  的子集；
• • 求定义域时容易遗漏限制条件，不会取多个条件的交集；
• • 机械记忆三种表示法，不会结合实际情境灵活选用。
3. 3. 突破策略
• • 学生自主绘制知识结构图，师生共同完善，建立整体框架；
• • 定义域固化流程：列条件→分别求解→取交集；
• • 结合实例对比三种表示法，设置辨析题制造认知冲突。

五、教学过程设计（40分钟）

环节一：自主建构，搭建全章知识框架（8min）

设计意图：激活原有认知，建立单元整体框架，明确复习主线。师生活动教师展示教材本章知识结构图，抛出问题：

问题：观察结构图，本章学习了哪些模块？模块之间存在怎样逻辑关系？

学生发言，教师板书完善：函数现实背景 → 函数概念与表示 → 函数基本性质 → 幂函数 → 函数应用教师总结：这条链条就是研究函数的通用范式，后续新函数都会沿用这套思路。追问：本章开篇“回顾与思考”第一个问题：通过本章学习，你对函数概念有什么新认识？

环节二：问题串驱动，深化函数概念（12min）

设计意图：对比两种定义，突破“对应说”理解难点，落实三要素辨析。师生活动问题1：初中函数“变量说”和高中“对应说”有什么联系与区别？预设：共同点：自变量每一个取值，都有唯一  与之对应；区别：初中依赖变化过程描述变量依赖，高中用两个非空数集、对应关系刻画，不需要依赖“变化”，定义更严谨。

问题2：函数三要素是什么？如何判断两个函数是否为同一个函数？预设：定义域、对应关系、值域；只需定义域、对应关系完全一致，值域由前两者唯一确定。辨析练习：判断  与 ； 与  是否同一函数。

问题3： 符号中  是什么含义？预设： 代表对应规则，可以是解析式、图象、表格。

例1（复习参考题第1题）求定义域(1) ；(2) 教师引导分析：识别解析式结构→列出全部限制条件→求解、取交集。示范板书解答，归纳定义域解题步骤：①识别结构，列出约束：偶次根式被开方≥0；分母≠0；零次幂底数≠0；②分别解不等式；③所有条件取交集；④用区间或集合书写结果。

拓展小练习： 求定义域。

环节三：对比三种表示方法，实现数形转换（12min）

设计意图：落实回顾与思考问题②，理解三种表示法优缺点，能在实际情境选用合适表达。师生活动问题4：结合实例，说说解析法、图象法、列表法各自特点？小组讨论后汇总：

• • 列表法：直接读取对应值，适合离散少量数据；缺点：不便运算，难以观察趋势；
• • 图象法：直观，快速观察增减、对称性；缺点：难以读出精确数值；
• • 解析法：精确，便于代数运算、推导；缺点不够直观。

例2（复习参考题14）商场销售数据建模给出表格：单价 ：30、40、45、50；销量 ：60、30、15、0任务：描点，猜想函数解析式，写出定义域。学生活动：描点，发现点在一条直线，设 ，代入两点求出 。教师强调：实际问题定义域除解析式要求，还要满足现实意义，销量 ，售价高于进价，定义域 。

例3（复习参考题第2题）函数求值已知 ，求 ，。示范代入化简，强调自变量取值限制。

例4（复习参考题第3题）验证函数等式，求证 ；（）。思路：代入替换自变量，代数化简，对比左右表达式。

方法提炼：将变换后的自变量代入解析式，化简后对比。

环节四：课堂即时练习（5min）

1. 1. 求  定义域；
2. 2. 判断 ， 是否同一函数；
3. 3. 路程数据表，用三种方式表达函数。

环节五：课堂小结（3min）

从三层复盘：

• • 知识：函数定义（变量说→对应说），三要素，三种表示；
• • 方法：定义域求解流程，函数代入求值；
• • 思想：数学抽象，数形结合，实际问题定义域要兼顾现实约束。

六、目标检测设计

1. 1. 求函数  的定义域。（考查定义域，数学运算）答案：
2. 2. 已知 ，求 ，。（考查函数代换求值）答案：；
3. 3. 判断  奇偶性。（考查代入验证，逻辑推理）答案：定义域  关于原点对称，，奇函数。

七、布置作业

1. 1. 完善个人绘制的第三章知识结构图；
2. 2. 完成复习参考题1、2、3；
3. 3. 预习复习参考题4、5。

八、板书设计

第三章小结复习（第1课时）

一、知识框架现实背景→函数概念与表示→性质→幂函数→应用二、函数概念变量说 → 对应说（集合语言）三要素：定义域、对应关系、值域同一函数：定义域、对应关系相同： 是对应规则三、三种表示解析法（精确，便于运算）｜图象法（直观）｜列表法（直接查表）四、例题区例1 定义域求解；例2 实际建模；例3 函数求值；例4 恒等式验证

第2课时 函数性质的综合应用

一、内容和内容解析

1. 内容

围绕教材回顾与思考问题③，系统复习单调性、最值、奇偶性；掌握研究函数性质通用路径：几何直观→自然语言描述→符号语言刻画→定义推理证明；完成复习参考题4、5、7、8、9、12。训练：二次函数单调性求参数、幂函数性质判定、中点性质证明、奇偶性与单调性综合、完整研究一个函数（）。

2. 内容解析

单调性描述函数增减趋势；最值刻画函数在区间上的极值；奇偶性揭示图象对称性。三者是研究所有函数的基本工具。教材强调的研究范式是本课时核心方法论，是后续学习指数、对数函数的基础。习题分层价值：

• • 第4题：二次函数区间单调性，实现“图象特征转化为代数不等式”；
• • 第5题：幂函数，巩固幂函数解析式求解与性质判断；
• • 第8题：中点函数值不等式，初步感知凹凸性，训练代数作差比较；
• • 第9题：奇偶函数在对称区间单调性规律，训练逻辑推理；
• • 第12题：完整研究一个陌生函数，落实“定义域→奇偶性→单调性→值域→图象”完整研究流程。

3. 知识联系

承上：基于第1课时函数概念基础；启下：为第3课时函数建模求最值提供性质工具。

二、目标和目标解析

教学目标

1. 1. 知识目标：能准确用符号语言描述单调性、奇偶性定义；说出奇函数、偶函数图象对称特征；掌握“图象直观→语言描述→符号刻画→推理证明”研究函数性质的一般过程。
2. 2. 技能目标：能利用二次函数对称轴求解区间单调条件下参数范围；会求幂函数解析式并判定性质；能综合奇偶性、单调性分析函数，按完整流程研究陌生函数。
3. 3. 素养目标：在符号化刻画性质中发展数学抽象；性质综合推理训练逻辑推理；代数运算强化数学运算素养。

目标解析

• • 知识：能说出奇函数对称区间单调性相同，偶函数对称区间单调性相反；
• • 技能：给定二次函数在区间具有单调性，能转化对称轴与区间位置关系；独立完成  全套性质讨论；
• • 素养：能主动迁移这套研究范式，自主研究新函数。

三、教学重难点

• • 重点：单调性、奇偶性定义；二次函数单调性与参数求解；奇偶性、单调性综合运用；研究函数的一般流程。
• • 难点：单调性定义证明的代数变形；奇偶性+单调性综合推理；陌生函数完整性质探究。

四、教学问题诊断分析

1. 1. 认知基础：学生掌握单调性、奇偶性定义，会基础判定，熟悉定义法证明单调性五步法（设元、作差、变形、定号、结论）。
2. 2. 潜在困难
• • 定义证明单调性，作差后变形困难；
• • 二次函数“区间上具有单调性”容易漏情况；
• • 判断奇偶性忘记先检验定义域是否关于原点对称；
• • 不会自主按顺序完整研究一个陌生函数。
3. 3. 突破策略
• • 规范定义证明书写模板，强化作差变形训练；
• • 二次函数单调性问题，抓住对称轴与区间位置关系；
• • 反复强调：奇偶性判定第一步：检验定义域对称性；
• • 示范完整函数研究流程，固化顺序：定义域→奇偶性→单调性→值域→图象。

五、教学过程设计（40min）

环节一：回顾范式，梳理函数性质（8min）

设计意图：回应回顾与思考问题③，建立性质研究通用框架。师生活动问题1：本章学习了哪些函数性质？研究函数性质一般过程是什么？预设：单调性、最值、奇偶性。过程：观察图象（几何直观）→自然语言描述增减、对称→符号语言写出定义→用定义推理证明。教师板书三类性质符号定义，形成表格。追问：为什么要用符号语言刻画性质？预设：自然语言存在歧义，符号语言严谨，支撑逻辑证明。

环节二：例题精讲，性质综合应用（15min）

例1（复习参考题4）：已知  在  上具有单调性，求  范围。五步分析法拆解：

1. 1. 问题类型：二次函数区间单调性求参数；
2. 2. 条件：开口向上，对称轴 ；区间上单调，即区间全部在对称轴一侧；
3. 3. 转化不等式： 或 ；
4. 4. 求解： 或 ；
5. 5. 检验端点，规范书写。

方法归纳：二次函数区间单调性，核心看对称轴与区间的位置。

例2（复习参考题9）奇偶性与单调性综合（1）奇函数  在  递减，判断  单调性；（2）偶函数  在  递减，判断  单调性。教师引导严格符号证明，得到结论：奇同偶反。

例3（复习参考题5）幂函数幂函数过 ，求解析式，判断奇偶、单调性。设 ，代入求得 ，，定义域 ，非奇非偶，在  递减。

环节三：深度探究，完整研究函数（12min）

例4（复习参考题8）中点性质证明(1) ，证明 ；(2) ，证明 。思路：左右分别代入，作差比较，利用完全平方非负证明不等式。

例5（复习参考题12）研究函数 按固定流程：①定义域：；②奇偶性：，奇函数；③单调性：定义法证明  递增，由奇函数对称性， 递增；④值域：；⑤图象特征。

方法提炼：研究函数标准顺序：定义域先行→奇偶性简化讨论→单调性→值域→图象。

环节四：课堂练习（3min）

1. 1. 判断  奇偶性，讨论  单调性；
2. 2.  在  递减，求  范围。

环节五：课堂小结（2min）

1. 1. 三大性质：单调性、最值、奇偶性；奇偶性判定先看定义域对称性；
2. 2. 研究范式：图象直观→语言描述→符号刻画→推理证明；
3. 3. 规律：奇函数对称区间单调性相同，偶函数相反；
4. 4. 研究函数固定流程：定义域→奇偶性→单调性→值域→图象。

六、目标检测设计

1. 1.  在  具有单调性，求  范围。答案： 或 
2. 2.  是  上偶函数， 递减，比较 ，， 大小。答案：）。(1) 写出利润 ；(2) 求最大利润与对应产量。教师引导五步拆解：
3. 3. 审题：利润 ，；
4. 4. 建模，分段写 ；
5. 5. 求解：两段分别求最值，比较；
6. 6. 验模，检验  取值符合题意；
7. 7. 回归，用文字回答实际问题。

方法归纳：分段函数最值，分段求，再横向比较。

环节三：含参数实际应用（12min）

例2（复习参考题10）电价收益问题关键翻译：新增用电量与（实际电价  期望电价0.4）成反比，新增用电量 ；(1) 建立收益  关于电价  的函数；(2) ，求保证收益至少增长20%的最低电价。重点训练文字语言转数学式子；建立不等式，化简求解；结合定义域取舍解；检验结果。

环节四：几何分段建模+综合练习（7min）

例3（复习参考题13）正三角形面积分段函数边长为2的正三角形， 左侧面积 。画图，找到分界点 ，，分三段写出解析式。

方法：几何分段建模，先建坐标系，找几何临界位置，分段计算面积。

课堂练习（复习参考题14第2问）商场销售利润模型，利用前面得到 ，建立利润函数 ，求最大利润。

环节五：课堂小结（3min）

1. 1. 建模五步法：审题→建模→求解→验模→作答；
2. 2. 常见模型：利润模型、收益模型、几何分段模型；
3. 3. 建模关键点：必须考虑实际定义域；分段问题找准分段临界点；结果要检验现实意义。

六、目标检测设计

1. 1. 工厂生产，固定成本500，单件可变成本20，收入 ，日最多生产100件。求利润函数，求最大利润。答案：，； 时，最大利润1500元。
2. 2. 分段函数求值：（）；（），求 ，，。

七、布置作业

1. 1. 复习参考题7、10、13、14；
2. 2. 全章知识复盘，准备单元检测。

八、板书设计

第三章小结复习（第3课时）

一、数学建模五步法审题→建模→求解→验模→作答二、典型模型

1. 1. 利润模型：，分段分别求最值
2. 2. 收益模型：总销量×（单价-成本）
3. 3. 几何分段模型：找临界位置，分段写解析式三、例题例1：利润最大化（复习题6）例2：电价含参建模（复习题10）例3：正三角形面积分段函数（复习题13）

整体教学说明（三课时共用）

1. 1. 教材忠实性：严格遵循必修第一册A版第三章小结板块，以教材知识结构图、回顾与思考3个问题为主线，习题全部取自复习参考题3，不额外引入超纲内容，习题分层（复习巩固→综合运用→拓广探索）循序渐进。
2. 2. 课标与素养落地：对标2017版课标，贯穿数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模五大核心素养；复习课不是简单重复，而是结构化重构知识、提炼通用研究方法。
3. 3. 学生主体：全部课时以问题串驱动，设置自主思考、小组讨论，引导学生自主建构知识网络，避免教师单向灌输；例题统一采用五步分析法，教给学生思考问题的思维框架，实现可迁移思维训练。
4. 4. 思维主线贯穿：三课时统一贯穿高中函数研究的通用范式：现实背景→函数概念与表示→函数性质→具体函数模型→实际应用，为后续指数、对数、三角函数学习铺垫方法论。

进阶一[DB]：

第三章函数的概念与性质小结与复习(回归教材ima版)教学设计（二）

进阶二[DS]：

第三章函数的概念与性质小结与复习(回归教材ima版)教学设计（四）