AI聊数学:5.5.2恒等变换复习巩固题(人教社普高必修第一册)

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小昊，学完和差角公式、倍角公式和辅助角公式，这复习巩固题够我们练一壶的了吧？

没错！整整12道题，从给值求值到化简证明，覆盖了这节的所有核心方法。咱们一道一道来，每道题做完我帮你总结方法，保证做完后你对三角恒等变换的功力提升一大截！

第1题：给值求值——两角差的余弦

第1题，已知赛因阿尔法等于3分之2，扣赛因贝塔等于负4分之3，阿尔法在2分之派到派之间，贝塔在派到2分之3派之间，求扣赛因括号阿尔法减贝塔。

这是标准的给值求值问题。扣赛因括号阿尔法减贝塔等于扣赛因阿尔法扣赛因贝塔加赛因阿尔法赛因贝塔。我们缺扣赛因阿尔法和赛因贝塔。

先判断符号——阿尔法在第二象限，扣赛因阿尔法是负的，扣赛因阿尔法等于负根号下1减9分之4等于负3分之根号5。贝塔在第三象限，赛因贝塔也是负的，赛因贝塔等于负根号下1减16分之9等于负4分之根号7。

代入公式：原式等于负3分之根号5乘负4分之3加3分之2乘负4分之根号7，等于4分之根号5减6分之根号7，通分后等于12分之3倍根号5减2倍根号7。

解题要点：给值求值先由象限确定符号求出缺失的三角函数值，再用和差角公式展开代入。

第2题：角的构造——整体代换思想

第2题说阿尔法和贝塔都是锐角，扣赛因阿尔法等于7分之1，扣赛因阿尔法加贝塔等于负14分之11，求扣赛因贝塔。题目还给了提示——贝塔等于阿尔法加贝塔减阿尔法。

这个提示太关键了！扣赛因贝塔等于扣赛因中括号阿尔法加贝塔减阿尔法中括号，展开等于扣赛因括号阿尔法加贝塔乘扣赛因阿尔法加赛因括号阿尔法加贝塔乘赛因阿尔法。

阿尔法是锐角，扣赛因阿尔法等于7分之1，所以赛因阿尔法等于7分之4倍根号3。阿尔法加贝塔呢？两个锐角之和可能在0到派之间，扣赛因值是负的，说明阿尔法加贝塔在2分之派到派之间，所以赛因是正的，等于14分之5倍根号3。

代入：原式等于负14分之11乘7分之1加14分之5倍根号3乘7分之4倍根号3，等于负98分之11加98分之60等于98分之49等于2分之1。

解题要点：把未知角拆成已知角的和或差，是三角求值中最常用的"整体代换"思想。

第3题：利用特殊角构造

第3题，已知赛因括号30度加阿尔法等于5分之3，60度小于阿尔法小于150度，求扣赛因阿尔法。

这题和上题思路一样。设阿尔法等于括号30度加阿尔法减30度。先判断范围——60度小于阿尔法小于150度，所以90度小于30度加阿尔法小于180度，在第二象限。扣赛因是负的，扣赛因括号30度加阿尔法等于负根号1减25分之9等于负5分之4。

那么扣赛因阿尔法等于扣赛因中括号括号30度加阿尔法减30度中括号，展开等于扣赛因括号30度加阿尔法乘扣赛因30度加赛因括号30度加阿尔法乘赛因30度。

代入：等于负5分之4乘2分之根号3加5分之3乘2分之1，等于负10分之4倍根号3加10分之3，也就是10分之3减4倍根号3。

解题要点：题目给的是赛因括号30度加阿尔法的值，就把阿尔法拆成括号30度加阿尔法减30度，仍然是用已知角表示未知角。

第4题：三角形中的三角恒等式

第4题，在三角形ABC中，赛因A等于13分之5，扣赛因B等于5分之3，求扣赛因C。

三角形内角和等于派，所以C等于派减A加B，扣赛因C等于负扣赛因A加B，等于赛因A赛因B减扣赛因A扣赛因B。

先看A。赛因A等于13分之5，那扣赛因A可能正可能负。但三角形中A是内角，赛因A等于13分之5不大，A可能是锐角或钝角。一般来说A取锐角，扣赛因A等于13分之12。

B角，扣赛因B等于5分之3，赛因B等于5分之4。代入公式：扣赛因C等于13分之5乘5分之4减13分之12乘5分之3，等于65分之20减65分之36，等于负65分之16。

解题要点：三角形中角的关系是C等于派减A加B，用诱导公式转化为A加B的三角函数。注意符号判断。

第5题：给值求值——正切的和差角

第5题，已知谭俊特括号阿尔法加贝塔等于3，谭俊特括号阿尔法减贝塔等于5，求谭俊特2阿尔法和谭俊特2贝塔。

这题的关键是构造！2阿尔法等于括号阿尔法加贝塔加括号阿尔法减贝塔，2贝塔等于括号阿尔法加贝塔减括号阿尔法减贝塔。这和第2题的思路一脉相承。

谭俊特2阿尔法等于谭俊特方括号括号阿尔法加贝塔加括号阿尔法减贝塔方括号，用正切和角公式：等于1减3乘5分之3加5等于负14分之8等于负7分之4。

谭俊特2贝塔等于谭俊特方括号括号阿尔法加贝塔减括号阿尔法减贝塔方括号，用正切差角公式：等于1加3乘5分之3减5等于16分之负2等于负8分之1。

解题要点：求2阿尔法和2贝塔的正切，本质就是把它们分别表示成已知角的和与差，和上题的整体代换是同一个思想。

第6题：灵活运用诱导公式和和差角公式化简

第6题有6道化简题，一个一个来。第1小题，赛因347度扣赛因148度加赛因77度扣赛因58度。

先化诱导公式。赛因347度等于赛因括号360度减13度等于负赛因13度。扣赛因148度等于扣赛因括号180度减32度等于负扣赛因32度。赛因77度等于赛因括号90度减13度等于扣赛因13度。扣赛因58度等于扣赛因括号90度减32度等于赛因32度。

所以原式变成括号负赛因13度乘括号负扣赛因32度加扣赛因13度乘赛因32度等于赛因13度扣赛因32度加扣赛因13度赛因32度。这正好是赛因括号13度加32度等于赛因45度等于2分之根号2。

解题要点：遇到非特殊角的大角度，先用诱导公式化为锐角，再用和差角公式合并。关键是找到两个角的关系。

第2小题，赛因164度赛因224度加赛因254度赛因314度。

同样先化诱导。赛因164度等于赛因16度。赛因224度等于负赛因44度。赛因254度等于负赛因74度。赛因314度等于负赛因46度。所以原式等于负赛因16度赛因44度加赛因74度赛因46度。

赛因74度等于扣赛因16度，赛因46度等于扣赛因44度，所以原式等于扣赛因16度扣赛因44度减赛因16度赛因44度等于扣赛因括号16度加44度等于扣赛因60度等于2分之1。

解题要点：二次诱导的关键是找准互补角——74度和16度互补，46度和44度互补，从而把赛因转化为扣赛因。

第3小题，赛因括号阿尔法加贝塔乘扣赛因括号伽马减贝塔减扣赛因括号贝塔加阿尔法乘赛因括号贝塔减伽马。

这个化简的妙处在于——扣赛因括号伽马减贝塔等于扣赛因括号贝塔减伽马，而赛因括号贝塔减伽马等于负赛因括号伽马减贝塔。再用扣赛因括号贝塔加阿尔法等于扣赛因括号阿尔法加贝塔，然后原式就变成了赛因括号阿尔法加贝塔扣赛因括号贝塔减伽马加扣赛因括号阿尔法加贝塔赛因括号贝塔减伽马。这不就是赛因中括号括号阿尔法加贝塔加括号贝塔减伽马中括号等于赛因括号阿尔法加2贝塔减伽马吗？

不对，再检查一下。原来减扣赛因括号贝塔加阿尔法乘赛因括号贝塔减伽马，赛因括号贝塔减伽马等于负赛因括号伽马减贝塔，所以变成减扣赛因括号阿尔法加贝塔乘中括号负赛因括号伽马减贝塔中括号等于加扣赛因括号阿尔法加贝塔赛因括号伽马减贝塔。所以是赛因括号阿尔法加贝塔扣赛因括号伽马减贝塔加扣赛因括号阿尔法加贝塔赛因括号伽马减贝塔，结果是赛因括号阿尔法加伽马。

小棠说得好！确实化简后是赛因括号阿尔法加伽马。所以遇到互余或相反的关系，先统一角的形式再合并。

解题要点：利用扣赛因是偶函数、赛因是奇函数的性质处理符号，再套用和差角公式合并。

第4小题，赛因括号阿尔法减贝塔赛因括号贝塔减伽马减扣赛因括号阿尔法减贝塔扣赛因括号伽马减贝塔。

注意扣赛因括号伽马减贝塔等于扣赛因括号贝塔减伽马。所以原式等于赛因括号阿尔法减贝塔赛因括号贝塔减伽马减扣赛因括号阿尔法减贝塔扣赛因括号贝塔减伽马。这很像扣赛因的和角公式，但中间是减号。我们提取一个负号，原式等于负中括号扣赛因括号阿尔法减贝塔扣赛因括号贝塔减伽马减赛因括号阿尔法减贝塔赛因括号贝塔减伽马中括号，等于负扣赛因中括号括号阿尔法减贝塔加括号贝塔减伽马中括号等于负扣赛因括号阿尔法减伽马。

解题要点：赛因赛因减扣赛因扣赛因的模型，提取负号后正好是扣赛因的和角公式。

第5小题，1减谭俊特12分之5派分之谭俊特4分之5派加谭俊特12分之5派。

谭俊特4分之5派等于谭俊特括号派加4分之派等于谭俊特4分之派等于1。所以原式等于1减谭俊特12分之5派分之1加谭俊特12分之5派。这正好是谭俊特4分之派加谭俊特12分之5派除以1减谭俊特4分之派乘谭俊特12分之5派，等于谭俊特括号4分之派加12分之5派等于谭俊特3分之2派等于负根号3。

解题要点：谭俊特的公式1加tan a除以1减tan a可以反过来看成tan4分之派加a的形式。

第6小题，赛因括号阿尔法加贝塔减2倍赛因阿尔法扣赛因贝塔，除以2倍赛因阿尔法赛因贝塔加扣赛因括号阿尔法加贝塔。

分子先展开——赛因括号阿尔法加贝塔等于赛因阿尔法扣赛因贝塔加扣赛因阿尔法赛因贝塔，减2倍赛因阿尔法扣赛因贝塔等于扣赛因阿尔法赛因贝塔减赛因阿尔法扣赛因贝塔等于负括号赛因阿尔法扣赛因贝塔减扣赛因阿尔法赛因贝塔括号等于负赛因括号阿尔法减贝塔。

分母：2倍赛因阿尔法赛因贝塔加扣赛因括号阿尔法加贝塔等于2倍赛因阿尔法赛因贝塔加扣赛因阿尔法扣赛因贝塔减赛因阿尔法赛因贝塔等于扣赛因阿尔法扣赛因贝塔加赛因阿尔法赛因贝塔等于扣赛因括号阿尔法减贝塔。

所以原式等于负扣赛因括号阿尔法减贝塔分之赛因括号阿尔法减贝塔等于负谭俊特括号阿尔法减贝塔。

解题要点：化简分式时，分子分母分别用和差角公式展开再合并，看能否凑成赛因或扣赛因的和差形式。

第7题：倍角公式求值

第7题，已知赛因阿尔法等于0点8 0，阿尔法在0到2分之派之间，求赛因2阿尔法和扣赛因2阿尔法，精确到0点0 1。

阿尔法在0到2分之派之间，扣赛因阿尔法为正。扣赛因阿尔法等于根号下1减0点6 4等于0点6 0。然后赛因2阿尔法等于2倍赛因阿尔法扣赛因阿尔法等于2乘0点8 0乘0点6 0等于0点9 6。扣赛因2阿尔法等于扣赛因平方阿尔法减赛因平方阿尔法等于0点3 6减0点6 4等于负0点2 8。

解题要点：已知一个三角函数值求倍角时，先用平方关系求出另一个三角函数值，再代入倍角公式。

第8题：恒等式证明

8道证明题，先从第1小题开始——括号赛因2阿尔法减扣赛因2阿尔法的平方等于1减赛因4阿尔法。

左边展开：赛因平方2阿尔法加扣赛因平方2阿尔法减2倍赛因2阿尔法扣赛因2阿尔法等于1减赛因4阿尔法。因为赛因平方加扣赛因平方等于1，2倍赛因2阿尔法扣赛因2阿尔法正好是赛因4阿尔法。证毕。

解题要点：完全平方展开后，利用赛因平方加扣赛因平方等于1和二倍角公式的逆向使用。

第2小题，谭俊特括号2分之x加4分之派加谭俊特括号2分之x减4分之派等于2倍谭俊特x。

用正切的和差角公式展开太麻烦。换个思路——写成赛因比扣赛因的形式，通分。左边等于赛因括号2分之x加4分之派除以扣赛因括号2分之x加4分之派加赛因括号2分之x减4分之派除以扣赛因括号2分之x减4分之派。

通分后，分子：赛因括号2分之x加4分之派扣赛因括号2分之x减4分之派加扣赛因括号2分之x加4分之派赛因括号2分之x减4分之派等于赛因x。分母：扣赛因括号2分之x加4分之派扣赛因括号2分之x减4分之派可用积化和差，等于2分之扣赛因x加扣赛因2分之派等于2分之扣赛因x。所以左边等于扣赛因x分之2倍赛因x等于2倍谭俊特x。证毕。

解题要点：正切和与正切差的证明，化成分式通分后用赛因的和角公式处理分子、积化和差处理分母。

第3小题，1加赛因2斐除以扣赛因斐加赛因斐等于扣赛因斐加赛因斐。

这个简单。1加赛因2斐等于赛因平方斐加扣赛因平方斐加2倍赛因斐扣赛因斐等于括号赛因斐加扣赛因斐的平方。所以左边等于赛因斐加扣赛因斐分之括号赛因斐加扣赛因斐的平方等于赛因斐加扣赛因斐。证毕。

解题要点：看到1加赛因2斐，马上想到赛因平方加扣赛因平方加2倍赛因扣赛因，就是完全平方。

第4小题，扣赛因平方阿尔法减赛因平方阿尔法分之1减2倍赛因阿尔法扣赛因阿尔法等于1加谭俊特阿尔法分之1减谭俊特阿尔法。

左边分子1减2倍赛因阿尔法扣赛因阿尔法等于括号扣赛因阿尔法减赛因阿尔法的平方。分母扣赛因平方阿尔法减赛因平方阿尔法等于括号扣赛因阿尔法减赛因阿尔法乘括号扣赛因阿尔法加赛因阿尔法。约掉公因子扣赛因阿尔法减赛因阿尔法后，左边等于扣赛因阿尔法加赛因阿尔法分之扣赛因阿尔法减赛因阿尔法。分子分母同时除以扣赛因阿尔法，得1加谭俊特阿尔法分之1减谭俊特阿尔法。证毕。

解题要点：平方差公式和完全平方公式在三角恒等式中也常用，因式分解后再约分。

第5小题，1加扣赛因2西塔分之1减扣赛因2西塔等于谭俊特平方西塔。

用降幂公式。1减扣赛因2西塔等于2倍赛因平方西塔，1加扣赛因2西塔等于2倍扣赛因平方西塔。所以左边等于2倍扣赛因平方西塔分之2倍赛因平方西塔等于谭俊特平方西塔。证毕。

解题要点：遇到1加减扣赛因2倍角，直接用降幂公式换成赛因平方或扣赛因平方。

最后第6小题，1加赛因2西塔减扣赛因2西塔除以1加赛因2西塔加扣赛因2西塔等于谭俊特西塔。

用第5小题的降幂公式。分子：1加赛因2西塔减扣赛因2西塔等于2倍赛因平方西塔加2倍赛因西塔扣赛因西塔等于2倍赛因西塔乘括号赛因西塔加扣赛因西塔。分母：1加赛因2西塔加扣赛因2西塔等于2倍扣赛因平方西塔加2倍赛因西塔扣赛因西塔等于2倍扣赛因西塔乘括号扣赛因西塔加赛因西塔。约分后得到扣赛因西塔分之赛因西塔等于谭俊特西塔。证毕。

解题要点： 1加赛因2西塔加减扣赛因2西塔这类式子，同时运用降幂公式和倍角公式分解因式。

第9题：和差角公式的联立应用

第9题，已知赛因括号阿尔法加贝塔等于2分之1，赛因括号阿尔法减贝塔等于3分之1。求证赛因阿尔法扣赛因贝塔等于5倍扣赛因阿尔法赛因贝塔，且谭俊特阿尔法等于5倍谭俊特贝塔。

把两个已知条件分别展开。赛因括号阿尔法加贝塔等于赛因阿尔法扣赛因贝塔加扣赛因阿尔法赛因贝塔等于2分之1。赛因括号阿尔法减贝塔等于赛因阿尔法扣赛因贝塔减扣赛因阿尔法赛因贝塔等于3分之1。

两式相加得2倍赛因阿尔法扣赛因贝塔等于2分之1加3分之1等于6分之5，所以赛因阿尔法扣赛因贝塔等于12分之5。两式相减得2倍扣赛因阿尔法赛因贝塔等于2分之1减3分之1等于6分之1，所以扣赛因阿尔法赛因贝塔等于12分之1。

所以赛因阿尔法扣赛因贝塔等于5乘12分之1等于5倍扣赛因阿尔法赛因贝塔。第1问证毕。

第2问，谭俊特阿尔法比谭俊特贝塔，等于赛因阿尔法比扣赛因阿尔法除以赛因贝塔比扣赛因贝塔，等于赛因阿尔法扣赛因贝塔比扣赛因阿尔法赛因贝塔，等于12分之5比12分之1等于5。所以谭俊特阿尔法等于5倍谭俊特贝塔。证毕。

解题要点：同时已知赛因阿尔法加贝塔和赛因阿尔法减贝塔时，两式相加得赛因阿尔法扣赛因贝塔，两式相减得扣赛因阿尔法赛因贝塔。

第10题：方程与三角恒等式的综合

第10题，已知1减谭俊特西塔除以2加谭俊特西塔等于1，求证谭俊特2西塔等于负4倍谭俊特括号西塔加4分之派。

先由已知条件解出谭俊特西塔。1减谭俊特西塔等于2加谭俊特西塔，移项得负2倍谭俊特西塔等于1，所以谭俊特西塔等于负2分之1。

然后分别计算两边。左边谭俊特2西塔等于1减谭俊特平方西塔分之2倍谭俊特西塔，代入谭俊特西塔等于负2分之1，得1减4分之1分之2乘负2分之1等于4分之3分之负1等于负3分之4。

右边先算谭俊特括号西塔加4分之派，等于1减谭俊特西塔分之谭俊特西塔加1，代入谭俊特西塔等于负2分之1，得1加2分之1分之负2分之1加1等于2分之3分之2分之1等于3分之1。负4乘3分之1等于负3分之4。两边相等，证毕。

解题要点：先由方程解出谭俊特西塔的值，再分别代入两边的表达式验证。注意正切的和角公式和倍角公式的正确使用。

第11题：几何中的三角恒等变换

第11题，已知一段圆弧所对的圆心角的正弦等于5分之3，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切。

圆周角等于圆心角的一半。设圆心角为西塔，赛因西塔等于5分之3。先求扣赛因西塔——如果西塔是锐角，扣赛因西塔等于5分之4。然后圆周角是2分之西塔。

赛因2分之西塔等于根号下2分之1减扣赛因西塔，等于根号下2分之1减5分之4，等于根号下10分之1，等于10分之根号10。

扣赛因2分之西塔等于根号下2分之1加扣赛因西塔，等于根号下2分之1加5分之4，等于根号下10分之9，等于10分之3倍根号10。

谭俊特2分之西塔等于扣赛因2分之西塔分之赛因2分之西塔等于3分之1。

解题要点：圆心角与圆周角是2倍关系，用半角公式或降幂公式求解。注意判断角的范围确定正负号。

第12题：辅助角公式化简

第12题，4道辅助角公式化简题。第1小题，3倍根号15倍赛因埃克斯加3倍根号5倍扣赛因埃克斯。

提取合成振幅A等于根号下9乘15加9乘5等于根号下180等于6倍根号5。然后找角——扣赛因斐等于6倍根号5分之3倍根号15等于2分之根号3，赛因斐等于6倍根号5分之3倍根号5等于2分之1。所以斐等于6分之派。原式等于6倍根号5倍赛因括号埃克斯加6分之派。

解题要点：辅助角公式的关键是提取振幅A等于根号下a平方加b平方，再确定对应的角。

第2小题，2分之3倍扣赛因埃克斯减2分之根号3倍赛因埃克斯。

A等于根号下4分之9加4分之3等于根号3。提取后，根号3乘括号2分之根号3倍扣赛因埃克斯减2分之1倍赛因埃克斯。2分之根号3等于扣赛因6分之派，2分之1等于赛因6分之派。所以原式等于根号3倍扣赛因括号埃克斯加6分之派。

解题要点：注意这里扣赛因在前、赛因在后，可以合并成扣赛因的和角形式，不一定非要写成赛因形式。

第3小题，根号3倍赛因2分之x加扣赛因2分之x。

A等于根号下3加1等于2。提取2得2乘括号2分之根号3倍赛因2分之x加2分之1倍扣赛因2分之x。2分之根号3等于扣赛因6分之派，2分之1等于赛因6分之派。所以原式等于2倍赛因括号2分之x加6分之派。

解题要点：当自变量是2分之x时，辅助角公式同样适用，注意括号内角度要与自变量匹配。

第4小题，4分之根号2倍赛因括号4分之派减x加4分之根号6倍扣赛因括号4分之派减x。

注意自变量是4分之派减x。A等于根号下8分之2加8分之6等于根号下1等于2分之根号2。提取后，2分之根号2乘中括号2分之1倍赛因括号4分之派减x加2分之根号3倍扣赛因括号4分之派减x中括号。2分之1等于扣赛因3分之派，2分之根号3等于赛因3分之派。所以原式等于2分之根号2倍赛因中括号括号4分之派减x加3分之派中括号等于2分之根号2倍赛因括号12分之7派减x。

解题要点：辅助角公式也可以对复合角的自变量使用，关键在于找准系数对应的三角函数值。

总结

按题型分类回顾解题方法

12道题全部讲解完毕，我来按题型分类总结——

第一类：给值求值——角的整体代换（第1、2、3、4题）

这类题的通用方法是：先用平方关系加象限符号求出缺失的三角函数值，再把未知角拆成已知角的和或差，用和差角公式展开代入。第2题和第3题的"贝塔等于阿尔法加贝塔减阿尔法"、"阿尔法等于30度加阿尔法减30度"都是这个思路。第4题三角形中则用C等于派减A加B转化。

第二类：给值求值——整体构造（第5题）

第5题求谭俊特2阿尔法和2贝塔，把2阿尔法看成括号阿尔法加贝塔加括号阿尔法减贝塔，2贝塔看成括号阿尔法加贝塔减括号阿尔法减贝塔，本质还是整体代换。

第三类：化简求值——诱导公式+和差角公式（第6题）

第6题的6道小题，核心是先用诱导公式把大角度化为锐角三角函数，再通过和差角公式合并。关键技巧包括：扣赛因的偶函数性质、赛因的奇函数性质、互补角的转化、以及将式子凑成谭俊特的和角公式形式。

第四类：倍角公式与降幂公式（第7、8题）

第7题直接套用二倍角公式。第8题的6道恒等式证明中，频繁使用赛因平方加扣赛因平方等于1、完全平方公式、平方差公式，以及1加减扣赛因2倍角等于2倍赛因平方或2倍扣赛因平方的降幂公式。

第五类：和差角公式联立（第9、10题）

第9题通过赛因括号阿尔法加贝塔和赛因括号阿尔法减贝塔的两式加减，分别得到赛因阿尔法扣赛因贝塔和扣赛因阿尔法赛因贝塔。第10题先解方程再代入倍角公式和正切和角公式验证。

第六类：半角公式与几何应用（第11题）

第11题用半角公式解决圆周角和圆心角的互求问题，本质是倍角公式的逆向应用。

第七类：辅助角公式合并（第12题）

4道小题覆盖了辅助角公式的不同变式：系数含根号时提取A等于根号下a平方加b平方，可以合并成赛因形式或扣赛因形式，自变量为2分之x或复合角时也完全适用。

哇，复习巩固题做完，感觉整个三角恒等变换的脉络一下子就清晰了！从给值求值到化简证明，从代数到几何，核心就三个工具——和差角公式、倍角公式、辅助角公式。做题的时候最关键的就是看清"已知什么、求什么"，找到已知量和未知量之间的角的关系，然后选择合适公式去转化。这一轮练下来，功夫可是扎实了不少啊！