中考总复习 第21讲:相似应用与几何测量
- 2026-10-24 12:48:28
中考总复习 第21讲:相似应用与几何测量核心：先找相似（平行线 / 反射），再列比例求未知量 一两大基本模型 
A 字型：一条直线平行于三角形一边，截出的小三角形与原三角形相似。8 字型（X 型）：两条相交线被一对平行线所截，得到的两个三角形相似（共享对顶角）。 二应用一：影子测高 
比例式：人高 / 人影 = 杆高 / 杆影。例：1.6 / 2 = h / 10 → h = 8 m。 三应用二：镜面反射 镜面反射：入射角 = 反射角，眼睛到地面、镜面到物体会构成 两个相似直角三角形。用途：池塘测塔高、平面镜测旗杆高，都是列比例解未知量。 四三道母题 △ADE 与 △ABC 相似，k = AD/AB = 2/5 → DE = BC × 2/5 = 4。 1.5 / 1.2 = h / 6 → h = 7.5 m。 △AOB 与 △COD 相似，AB/CD = OA/OC = 4/6 → AB = 9 × 4/6 = 6。 五练习 1. k = AD/AB = 1/3 → BC = DE / (1/3) = 15。2. 1.7 / 2 = h / 30 → h = 25.5 m。3. AB/CD = OA/OC = 1/2 → CD = 14。
相似不是只会证，它最大的本事是量出量不到的东西。旗杆多高、河有多宽、大楼多高，不用爬上去，用比例就能算。本讲把最常见的两个模型和三类应用题讲透。
相似题看来看去就两个骨架：A 字型和8 字型（X 型）。认出骨架，比例自然出来。
A 字型：DE∥BC 则 △ADE ~ △ABC；8 字型：AB∥CD 则 △AOB ~ △DOC（对顶角）
同一时刻太阳光互相平行，人和旗杆各自与影子组成两个相似的直角三角形。量出人的身高、人影、旗杆影，就能算出旗杆高。
人高 1.6m、人影 2m、旗杆影 10m，列比例 1.6/2 = h/10，得 h = 8m
人站在镜子（或水面）前，眼睛、镜中像、物体构成相似关系，可用来测高测距——本质还是两个直角三角形相似。
至于位似——对应点连线都过同一点（位似中心）的放大缩小，它本质也是相似，但归类在图形变换里，和旋转、轴对称放在一起讲更顺，详见第 29 讲「旋转与位似」，这里先不展开。
母题一 A 字型求线段
△ABC 中 DE∥BC，AD = 2，DB = 3，BC = 10，求 DE。
母题二 影子测高
某人身高 1.5 m，影长 1.2 m，此时一棵树的影长 6 m，求树高。
母题三 8 字型
如图 AB∥CD，OA = 4，OC = 6，CD = 9，求 AB。
练习1：DE∥BC，AD=3，AB=9，DE=5，求 BC。
练习2：人高 1.7m，影长 2.0m，楼影 30m，楼高多少？
练习3：AB∥CD，OA=5，OC=10，AB=7，求 CD。
练习答案
相似应用一句话：找骨架（A 字 / 8 字 / 反射）、证相似、列比例、解未知——三角形模块到此收尾，下个模块进入四边形。
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