九年级圆专题·期中复习:弧长与扇形面积,三道真题打通

❝学到「圆」的计算，绕不开弧长与扇形面积。这两个公式看着要背，其实一句话——按角度取份额。这一篇先把公式焊牢、把防错口诀立住，再用三道真题边练边用：直求半径、旋转轨迹、折叠阴影，最后把完整思考链收拢成一张考前清单。

本篇导览
一 公式这样记二 例1 知二求一三 例2 旋转轨迹四 例3 折叠阴影五 思维总结六 写在最后

一两个公式，一句「份额」记牢

弧长与扇形面积，两个公式不用死背——它们是同一句话：圆里的一份，按角度算。

整圆 360° 对应周长 2πR，那么 n° 的弧就占同样的份额：

l = n360 × 2πR = nπR180

图 2份额法：角度占 360° 的份额，就是弧长、扇形面积占整体的份额

同理，整圆 360° 对应面积 πR²，n° 的扇形也占同样的份额：

S = n360 × πR² = nπR²360

第二个记忆钩子：把扇形看成「弯曲的三角形」——弧长当底，半径当高，面积就是底乘高的一半：

S = 12 lR

图 3扇形 = 底为弧长 l、高为半径 R 的「弯曲三角形」

两条公式互相锁死，忘了一条能现场推回来：12 × nπR180 × R = nπR²360，代回去分毫不差。

防错两句，抄在错题本上：

1. 「长一百八，面三百六」
   ——弧长公式分母是 180（周长里的 2 已经和 360 约掉了），别和面积公式串用。
2. n 只代数字
   ——90° 就代 90，度数符号和 π 都留在公式外面，别提前把 π 乘成 3.14。

信号灯：见弧长、扇形面积，先数手里的量——圆心角 n、半径 R、弧长 l，知道两个就能解第三个；公式忘了，用「份额」现场推。

二例1：知二求一，公式直接收

例 1   若 90° 圆心角所对的弧长是 3π cm，则此弧所在圆的半径是____．

图 4例1：90° 的弧，弧长 3π cm

第一步，套弧长公式，n = 90：

3π = 90πR180 = πR2

第二步，两边同时约去 π，再乘 2：

R = 6（cm）

信号灯：弧长题就是「知二求一」——n、R、l 三个量知道两个，公式一列就解出来；π 在方程两边直接约掉，根本不用算数值。

变式 1
反向再练：半径为 6 的圆中，120° 的圆心角所对的弧长是____．

这次已知 R 求 l，还是同一条公式：

l = 120 × π × 6180 = 4π

变式 2
两公式对比：例 1 中的扇形（半径 6、圆心角 90°）的面积是多少？

算法一，面积公式「面三百六」：

S = 90 × π × 6²360 = 90 × 36π360 = 9π

算法二，例 1 已算出弧长 3π，用「弯曲三角形」——弧长乘半径取一半：

S = 12 lR = 12 × 3π × 6 = 9π

两条路殊途同归：S = 9π

信号灯：手里已经有弧长时，「弧长乘半径取一半」往往比面积公式快——这正是 S = 12 lR 的价值。

三例2：旋转甩出一条弧——先「三定」再收网

例 2
如图，在 △ABC 中，CA = CB = 4，∠BAC = α，将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 2α，得到 △AB′C′，连接 B′C 并延长，交 AB 于点 D．当 B′D ⊥ AB 时，弧 BB′ 的长是（　　）A．2√33π　B．4√33π　C．8√39π　D．10√39π

图 5例2：B 绕 A 旋转，走过的弧就是弧 BB′

第一步（三定）：点 B 绕 A 旋转，扫出的就是弧 BB′——圆心定在旋转中心 A，半径定成 AB，圆心角定成旋转角 ∠BAB′ = 2α。只要求出 α 和 AB，弧长公式收尾。

第二步（锁定 α）：旋转角 2α 从 AB 逆时针量起，∠BAC = α 恰好是它的一半——AC 平分 ∠BAB′。又 AB = AB′（旋转不改变长度），等腰三角形顶角平分线三线合一，C 落在 BB′ 的垂直平分线上：

CB′ = CB，加上 CA = CB = 4 → CA = CB = CB′ = 4

三个距离相等，A、B、B′ 都在以 C 为圆心、4 为半径的圆上——这一步是全题的枢纽。

第三步（用直角列方程）：在 ⊙C 中，圆周角 ∠BAB′ = 2α 看弦 BB′，圆心角翻倍：

∠BCB′ = 4α → 等腰 △CBB′ 的底角 ∠CB′B = 180° − 4α2 = 90° − 2α

等腰 △ABB′ 的底角 ∠AB′B = 90° − α，B′C 在它的内部，于是：

∠AB′C = ∠AB′B − ∠CB′B = α

另一边，B′D ⊥ AB，在 Rt△AB′D 中 ∠B′AD = 2α，两个锐角互余：

∠AB′D = 90° − 2α

D 在 B′C 的延长线上，∠AB′C 与 ∠AB′D 是同一个角：

α = 90° − 2α → α = 30°

第四步（求半径，公式收尾）：等腰 △ABC 中，C 到 AB 的垂足是 AB 中点。Rt△ 里 30° 角所对直角边是斜边一半：高 = 2；勾股得半底 = √4² − 2² = 2√3：

AB = 4√3

弧BB′ = 60 × π × 4√3180 = 4√33π → 选 B

信号灯：旋转求弧长，先「三定」——圆心定在旋转中心、半径定成旋转半径、圆心角定成旋转角；剩下的全是解三角形。

易错警示
易错警示｜两处最容易翻车：一是弧的圆心是旋转中心 A，不是点 C；二是圆心角是旋转角 2α，不是 α。这两处搞反，四个选项里一定有你算错的那个。

四例3：折叠扇形——全等开路，扇形收网

例 3
如图，在扇形 OAB 中，∠AOB = 90°，半径 OA = 6．将扇形 OAB 沿过点 B 的直线折叠，使点 O 恰好落在弧 AB 上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C，求整个阴影部分的周长和面积．

图 6例3：折叠后，阴影 = 曲边三角形 ACD + 弓形 DB

第一步（折叠给全等）：折痕 CB 是对称轴，△OBC 折过去与 △DBC 重合：

OB = DB = 6，OC = DC，∠OBC = ∠DBC，S△DBC = S△OBC

第二步（定出 D 的位置）：「点 O 恰好落在弧 AB 上」翻译成距离语言——OD 等于半径：

OD = 6 → OB = BD = OD = 6 → △OBD 是等边三角形，∠OBD = 60°

第三步（求 OC）：折叠还把折痕两侧的角对半分：

∠OBC = ∠DBC = 12 × 60° = 30°

Rt△OBC 中 ∠O = 90°，30° 角所对直角边是斜边一半 → BC = 2OC。设 OC = x，勾股定理：

6² + x² = (2x)² → 3x² = 36 → x = 2√3，即 OC = DC = 2√3

第四步（周长）：阴影是两块拼接——曲边三角形 ACD 和弓形 DB。拼缝 CD、弓形的弦 BD 都在边界上，一条不能漏：

周长 = 弧AB + BD + DC + CA

弧AB = 90360 × 2π × 6 = 3π，BD = 6，DC = OC = 2√3，CA = 6 − 2√3

周长 = 3π + 6 + 2√3 + (6 − 2√3) = 3π + 12

第五步（面积）：面积不必逐块啃——折叠前后两个三角形全等，直接「扇形减两个全等三角形」：

S阴影 = S扇形OAB − 2S△OBC

S扇形OAB = 90360 × π × 6² = 9π，S△OBC = 12 × 6 × 2√3 = 6√3

S阴影 = 9π − 2 × 6√3 = 9π − 12√3

信号灯：折叠即全等——对应边、对应角照抄；「点恰好落在弧上」翻译成「到圆心的距离等于半径」，等边三角形自己冒出来，角度全解锁。

易错警示
易错警示｜周长要算上两块阴影的拼缝 CD 和弓形的弦 BD——曲边图形的周长 = 直边 + 弧，一条都别漏；面积则相反，拼缝不占面积，抓「扇形 − 两个全等三角形」最稳。

五思维总结：这类题的完整思考链

三道例题走完，把思考链压成五句话——考场上按这个顺序想，弧长与扇形面积的题基本没有悬念。

1. 先「三定」再动笔
   ：求任何弧长、扇形面积，第一步永远是定圆心、定半径、定圆心角。旋转题里，圆心就是旋转中心，半径就是旋转半径，圆心角就是旋转角——例 2 的分全在这「三定」上。
2. 公式忘了就推
   ：弧长、扇形面积背后都是「按角度取份额」——n° 占 360° 的几分之几，周长、面积就乘同样的分数。份额法还能现场推回 S = 12 lR。
3. 两个面积公式挑快的
   ：知道圆心角，用 nπR² 的份额；知道弧长，直接「弧长乘半径取一半」——变式 2 已经演示过它有多快。
4. 阴影面积三板斧
   ：割（拆成扇形与三角形）、补（等积变形拼整块）、整体减空白。例 3 走的是第三板斧的加速版：折叠给全等，两个三角形一起减。
5. 角是弧的命根子
   ：折叠给全等与角平分，圆周角翻倍成圆心角，等腰给三线合一。角错一度，弧长错一截——例 2、例 3 的前几步，全是在为最后收网修路。

易错清单，考前扫一遍：

1. n 只代数字不带单位：90° 代进去的是 90；π 留在公式里，结果按题目要求保留 π，别提前乘 3.14。
2. 「长一百八，面三百六」：弧长公式分母 180，面积公式分母 360，两个别串。
3. 圆心角要和圆心配套：旋转扫出的弧，圆心在旋转中心；别拿图形里别的角硬套。
4. 阴影别硬算曲边：一切曲边图形都拆成扇形与三角形，勾股和 30°、45°、60° 直角三角形是拆解的钥匙。
5. 写全依据再下结论：折叠要说「折叠前后全等」，等边要说「三边相等」——步骤分就藏在这些短句里。

六写在最后

弧长与扇形面积，是「圆」的计算里最讲理的一章：公式不用背——一份角度换一份弧长；难题不用啃——三定之后全是解三角形，阴影拆开全是扇形和三角形。把这两句话带进考场，这一章的分就稳了。

一句话带走：份额定弧长，三定出旋转，弓形减出来——弧长扇形，全是比例。

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