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南通初三数学期中复习·公式法则背诵清单

二次函数 · 反比例函数 · 圆 ｜ 八大板块 · 公式定理 · 考前逐条过关

❝11 月期中在即，这份清单把期中必背的公式、定理与模型按八个板块理成一条线：二次函数、反比例函数、圆的概念、垂径定理、圆心角、圆周角、圆内接四边形、弧长与扇形。每个板块给出该背的结论、配一张模型图，末尾附「必背清单」。先把公式背熟，再把模型看懂，最后落到题上——三步走完，期中基础分基本不漏。

本篇导览
一 二次函数二 反比例函数三 圆的概念四 垂径定理五 圆心角六 圆周角七 圆内接四边形八 弧长与扇形

一二次函数

（一）三种解析式

1. 一般式：y = ax² + bx + c（a ≠ 0），配方后化为顶点式。
2. 顶点式：y = a(x − h)² + k，顶点为 (h, k)，对称轴为直线 x = h。
3. 交点式：y = a(x − x₁)(x − x₂)，抛物线与 x 轴交于 (x₁, 0)、(x₂, 0)；与 x 轴无交点时不用交点式。

（二）图象与性质

1. 图象是抛物线：a > 0 开口向上，a < 0 开口向下；|a| 越大，开口越小。
2. 对称轴：x = −b2a；顶点坐标：(−b2a, 4ac−b²4a)。
3. 与 y 轴的交点为 (0, c)。
4. 增减性与最值，分两种情形：

• a > 0：对称轴左侧 y 随 x 增大而减小，右侧 y 随 x 增大而增大；x = −b2a 时 y 取最小值 4ac−b²4a。
• a < 0：对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，右侧 y 随 x 增大而减小；x = −b2a 时 y 取最大值 4ac−b²4a。

（三）系数符号与图象特征

（四）图象平移

1. 法则：上加下减、左加右减。以顶点式 y = a(x − h)² + k 为准：向左平移 m 个单位，x 换成 x + m；向右 m 个，换成 x − m；向上 n 个，k 变为 k + n；向下 n 个，k 变为 k − n。
2. 平移只改变顶点位置，a 不变，抛物线的形状不变。

（五）特殊点的函数值（模型）

x = 0 时 y = c；x = 1 时 y = a + b + c；x = −1 时 y = a − b + c。判断含 a、b、c 的代数式符号时，看对应点在 x 轴上方还是下方。

（六）与一元二次方程的联系

1. 抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax² + bx + c = 0 的根；判别式 Δ = b² − 4ac 决定交点个数。
2. 根与系数关系（韦达定理）：x₁ + x₂ = −ba，x₁x₂ = ca。求与两根相关的对称式时常用。

（七）应用模型

1. 利润最值：利润 = 单件利润 × 件数，化为二次函数求顶点。
2. 几何最值：面积、线段长表示为二次函数，求顶点处最值（注意自变量取值范围）。
3. 抛物线形问题（拱桥、喷泉、隧道）：建坐标系，设顶点式，代入已知点求 a。

必背清单
□ 三种解析式；对称轴 x = −b2a；顶点 (−b2a, 4ac−b²4a)
□ 增减性与最值（a > 0、a < 0 两种情形）
□ 左同右异；c 看与 y 轴交点；Δ 看与 x 轴交点个数
□ 平移「上加下减、左加右减」，a 不变
□ a + b + c、a − b + c 特殊点模型

二反比例函数

（一）定义与图象

1. 定义：y = kx（k ≠ 0，x ≠ 0），也可写成 xy = k。图象是双曲线，有两个分支。
2. 图象位置：k > 0 时，两支分别在第一、三象限；k < 0 时，两支分别在第二、四象限。
3. 对称性：两支关于原点中心对称，也关于直线 y = x、y = −x 轴对称。
4. |k| 越大，双曲线离原点越远。

（二）图象与性质

易错警示
增减性必须强调「在每个象限内」，不能跨象限直接比较 y 的大小。

（三）k 的几何意义（模型）

1. 过双曲线上任意一点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于 |k|。
2. 矩形面积的一半是三角形面积：S = 12|k|。
3. 反比例函数与一次函数图象的交点：联立两个解析式解方程组；由所得方程的判别式判断交点个数。

必背清单
□ y = kx（xy = k），k ≠ 0
□ k > 0 在一、三象限；k < 0 在二、四象限
□ 每个象限内：k > 0 时 y 随 x 增大而减小，k < 0 时增大而增大
□ 矩形面积 = |k|，三角形面积 = 12|k|
□ 双曲线关于原点中心对称，关于 y = x、y = −x 轴对称

三圆的概念

（一）圆的定义

1. 集合定义：平面上到定点（圆心 O）的距离等于定长（半径 r）的所有点组成的图形。
2. 确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆心确定位置，半径确定大小。

（二）与圆有关的概念

1. 弦：连接圆上任意两点的线段。经过圆心的弦是直径，直径是最长的弦。
2. 弧：圆上任意两点之间的部分。小于半圆的弧叫劣弧，大于半圆的弧叫优弧；直径把圆分成两个半圆。
3. 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧。
4. 圆心角：顶点在圆心的角。圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角。
5. 弦心距：圆心到弦的距离。
6. 等圆：半径相等的圆；同心圆：圆心相同、半径不同的圆。

（三）圆的基本性质

1. 圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径所在的直线。
2. 圆是中心对称图形，对称中心是圆心；旋转任意角度都与自身重合。
3. 同圆或等圆的半径相等。

（四）点与圆的位置关系

设点 P 到圆心 O 的距离为 d，半径为 r：d < r，点 P 在圆内；d = r，点 P 在圆上；d > r，点 P 在圆外。

必背清单
□ 圆的集合定义；确定圆的条件（不共线三点）
□ 弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、圆心角、圆周角、弦心距的概念
□ 圆的两条对称性：轴对称（直径所在直线）、中心对称（圆心）
□ 点与圆：d < r 圆内，d = r 圆上，d > r 圆外

四垂径定理

（一）定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

（二）推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（三）核心模型（直角三角形）

半径 r、弦心距 d、半弦长 a2 构成直角三角形（弦心距把弦平分），勾股关系：

图 1垂径定理模型：r² = d² + (a2)²

其中 a 为弦长。知二求一，可求弦长、半径、弦心距。

（四）常用辅助线

1. 过圆心作弦的垂线（作弦心距）；
2. 连接圆心与弦的端点（连半径）。

两者结合构造直角三角形，用勾股定理计算。

信号灯：垂径题的固定动作——见弦先作弦心距，再连半径，把 r、d、半弦长塞进同一个直角三角形，勾股定理直接落地。

必背清单
□ 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
□ 推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦
□ 直角三角形模型 r² = d² + (a2)²
□ 辅助线：作弦心距、连半径

五圆心角定理

（一）定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（二）推论

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等。

（三）核心模型

在同圆或等圆中：圆心角相等 ⇔ 弧相等 ⇔ 弦相等，三者「知一推二」。圆心角的度数等于它所对弧的度数。

必背清单
□ 定理：相等的圆心角所对的弧相等、弦相等（同圆或等圆）
□ 推论：弧相等或弦相等都可推出圆心角相等
□ 知一推二：圆心角 ⇔ 弧 ⇔ 弦（前提：同圆或等圆）
□ 圆心角度数 = 所对弧的度数

六圆周角定理

（一）定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，即 ∠ACB = 12∠AOB。

图 2圆周角定理：∠ACB = 12∠AOB（C 在优弧，∠AOB = 120°，∠ACB = 60°）

（二）推论 1

同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

（三）推论 2

半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。

口诀：见直径想直角，见直角想直径。

（四）应用模型

1. 同弧上的圆周角相等——常用来转化角的位置。
2. 题目中出现直径，立即找直径所对的圆周角，构造直角三角形。

必背清单
□ 定理：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半
□ 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等
□ 推论 2：直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径
□ 模型：见直径想直角，见直角想直径

七圆内接四边形性质

（一）定义

四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫四边形的外接圆。

（二）性质 1：对角互补

∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。

（三）性质 2：外角等于内对角

圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角（与它相邻的内角的对角）。

图 3圆内接四边形：对角互补、外角等于内对角

（四）判定

对角互补的四边形，其四个顶点在同一个圆上（即四边形内接于圆）。

易错警示
内对角怎么找：外角顶点所对的那个「不相邻」的内角。比如顶点 C 处的外角，等于顶点 A 处的内角。

必背清单
□ 对角互补：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°
□ 外角等于内对角
□ 判定：对角互补的四边形内接于圆

八弧长与扇形面积

（一）弧长公式

l = nπr180（n 为圆心角的度数，r 为半径，l 为弧长）。

图 4扇形与弧长：l = nπr180，S = nπr²360 = 12lr

（二）扇形面积公式

S = nπr²360 = 12lr（l 为扇形的弧长）。

（三）弓形面积

弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积。如弓形由扇形 OAB 减去 △OAB 得到。

（四）圆锥（侧面展开为扇形）

1. 圆锥的侧面展开图是扇形：扇形的半径 = 母线长 l，扇形的弧长 = 底面圆的周长 2πr。
2. 侧面积 S侧 = πrl；全面积 S全 = πrl + πr²。

（五）圆柱（补充）

圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高，即 S侧 = 2πrh。

一句话：弧长看圆心角，扇形看半径。弓形永远是「扇形 − 三角形」；圆锥把底面周长「卷」成扇形弧长。

必背清单
□ 弧长：l = nπr180（n 为圆心角度数）
□ 扇形面积：S = nπr²360 = 12lr
□ 弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积
□ 圆锥：S侧 = πrl，S全 = πrl + πr²（l 为母线长，r 为底面半径）

考前怎么用这份清单

1. 先背公式：把每个板块的「必背清单」逐条过一遍，说不出来的做记号，重点攻。
2. 再看图懂模型：四张模型图对应四个高频考点——垂径、圆周角、圆内接四边形、弧长与扇形，理解之后再记结论。
3. 最后落到题上：先背公式定理，再做配套练习；表格与图示中的模型是高频考点，务必理解后再记忆。

一句话带走：二次函数抓「轴与开口」，反比例记「每个象限内」，圆这一章认准四条线——垂径、圆心角、圆周角、内接四边形；公式背熟、模型看懂，期中就稳。

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