高三物理一轮复习_动力学和能量观点的综合应用

 高三物理一轮复习专题

动力学和能量观点的综合应用

——功能关系解决传送带、滑块—木板模型综合问题

动力学和能量观点分析多运动组合问题 

【基础·考点·母题·真题变式·精析】

含2022—2026 年高考真题变式4 道（每题深挖）

第一部分　基本知识（简单而有深度）

一、两种观点，一个桥梁

动力学观点：用牛顿第二定律 F合=ma求出加速度，再用运动学公式（v=v₀+at、x=v₀t+½at²、v²-v₀²=2ax）解出速度、位移和时间。它的长处是能给出每个时刻的状态，短处是过程一多、受力一变就要分段，运算繁琐。

能量观点：从力做功与能量变化的关系（动能定理、能量守恒定律）出发，只看过程的初、末状态，不涉及时间。它擅长处理多过程、变力、往复运动，是"多运动组合"问题的首选工具。

一个桥梁：相邻两个子过程之间，前一过程的末速度就是后一过程的初速度——抓住这个"速度桥梁"，就能把一段段互不相同的运动串起来。

传送带与滑块—木板这两类模型之所以难，是因为"摩擦力"既是改变物体动能的原因（做正功或负功），又是产生系统内热的原因（消耗机械能）。同一对滑动摩擦力，"对物块做功"和"摩擦生热"看的是完全不同的位移，这是全篇最容易失分的地方。

二、功能关系对照表

核心易错：Q = f·Δx_相对 中，Δx_相对 是两接触面之间的相对路程（往复运动时为各段相对位移之和），绝不是某一个物体的对地位移。做功看"对地位移"，生热看"相对位移"。

三、传送带模型的三个关键

1. 摩擦力方向由"相对运动方向"决定：物块速度小于带速，摩擦力与带同向；物块速度大于带速，摩擦力与带反向；达到共速后，水平传送带上的静摩擦力可能为零，倾斜传送带上还要看重力分力与最大静摩擦力的关系。

2. 共速是临界状态：物块与传送带达到共速的瞬间，摩擦力可能突变，运动性质随之改变，这是分段分析的分界点。

3. 三个位移对应三个能量：

　　（1）物块对地位移 x_物 → 用于物块动能定理：W_合= f·x_物；

　　（2）传送带对地位移 x_带 → 用于电动机做功：W_电= f·x_带；

　　（3）相对位移 Δx = |x_带 − x_物|（往复时为相对路程）→ 用于摩擦生热：Q = f·Δx。

深度提醒：传送带"匀速转动"不代表物块匀速；物块在带上留下的"划痕长度"等于相对位移的大小。倾斜传送带要先用 mgsinθ 与 μmgcosθ 比较，判断能否共速后匀速、还是继续加速或减速。

四、滑块—木板模型的三个关键

1. 动量守恒：系统在水平方向不受外力（或外力可忽略），则 mv₀ = (m+M)v_共。

2. 能量守恒：滑动摩擦力生热等于系统机械能的减少量，Q = f·Δx_相对= ½mv₀² − ½(m+M)v_共²。

3. 滑出判断：把最大相对位移 Δx_max与板长 l比较——Δx_max ≥ l会滑出，反之不会；"恰好滑到另一端"意味着 Δx_max = l。

深度提醒：当两者达到共速时，相对位移达到最大，木板速度也达到最大。若板固定，物块的对地位移就等于相对位移；若板不固定，二者的位移关系（同向相减、反向相加）才等于板长。

五、多运动组合的"过程分解"

面对"圆弧轨道＋传送带＋碰撞＋平抛"这类多过程问题，按四步走：

　第一步　划分过程：按"接触面变化""速度突变（碰撞）""运动性质改变"把整个运动切成若干子过程。

　第二步　找桥梁：相邻子过程的连接点速度（前一末速度 = 后一初速度），以及位移关系。

　第三步　选规律：匀变速直线用动力学或动能定理；碰撞用动量守恒；竖直圆最高点用牛顿定律＋能量；平抛用运动的分解。

　第四步　画草图：画出各阶段示意图和 v-t图，标清位移、时间与相对位移。

第二部分　考点精讲

考点 1　功能关系解决传送带综合问题

水平传送带：先判断物块与带能否共速（比较初速度与带速），再分段求时间、位移；摩擦生热 Q = f·Δx；电动机多消耗的电能 W_电= ΔE_k + Q。

倾斜传送带：先比较 mgsinθ 与 μmgcosθ。若 μmgcosθ > mgsinθ，物块与带共速后可随带匀速；若 μmgcosθ < mgsinθ，物块共速后继续加速（摩擦力方向会反向）。

典型设问：传送带对物块做的功、物块对传送带做的功、摩擦生热、因传送物体电动机多消耗的电能。

考点 2　功能关系解决滑块—木板综合问题

先用动量守恒求共速 v_共，再用能量守恒求相对位移与生热。注意"摩擦力对木板做的功"用木板对地位移，"摩擦生热"用相对位移，二者不可混用。

变力情形（如阻力 f = kv₀）要借助动能定理与临界条件分析：木块获得速度最大，对应子弹"恰好不射出木块"的临界（此时两者共速且相对位移等于板长）。

考点 3　动力学与能量观点分析多运动组合问题

典型链条：光滑圆弧（机械能守恒求速度）→ 水平面/传送带（动能定理或动力学求位移、时间）→ 碰撞（动量守恒求碰后速度）→ 平抛（分方向求解）。

核心是"速度桥梁"：每段把上一个过程的末速度当作本过程初速度；有碰撞时别忘了碰撞的动量关系与机械能损失。

考点 4　临界与分类讨论

四大临界：①接触与脱离（弹力 F_N = 0）；②相对滑动的临界（静摩擦力达到最大）；③绳断/松弛（张力到极值或 F_T = 0）；④速度最值（加速度为零）。

当传送带速度与物块速度的大小关系不确定时，必须按"带速小于物块速度"与"带速大于物块速度"分情况讨论，最后检验解是否落在所设区间内。

第三部分　母题精析

母题一　水平传送带（功能关系）

【题目】足够长的水平传送带以速率 v = 2 m/s匀速向右运动。将质量 m = 1 kg的物块无初速地轻放在传送带左端 A。物块与传送带间的动摩擦因数 μ = 0.2，g取 10 m/s²。求：

(1) 物块加速到与传送带共速所需的时间及位移；

(2) 该过程中传送带对物块做的功；

(3) 物块与传送带间因摩擦产生的热量；

(4) 因传送该物块，电动机多消耗的电能。

图 1　水平传送带模型

【解析】

(1) 物块轻放后，相对传送带向左滑动，受到向右的滑动摩擦力：

f = μmg = 0.2×1×10 N = 2 N

a = f/m = μg = 2 m/s²

t = v/a = 2/2 s = 1 s，　x_物= v²/(2a) = 4/4 m = 1 m

(2) 传送带对物块做的功即滑动摩擦力对物块做的功：

W = f·x_物= 2×1 J = 2 J

恰好等于物块动能的增加量 ½mv² = ½×1×2²J = 2 J，与动能定理一致。

(3) 共速前，传送带对地的位移：

x_带= v·t = 2×1 m = 2 m

Δx = x_带 − x_物= 2 − 1 m = 1 m

Q = f·Δx = 2×1 J = 2 J

(4) 电动机多消耗的电能等于物块增加的动能与摩擦生热之和：

W_电= ½mv² + Q = 2 J + 2 J = 4 J

（也可由 W_电= f·x_带= 2×2 J = 4 J得到。）

母题二　滑块—木板（能量）

【题目】光滑水平面上静置一质量 M = 2 kg、长 l = 1.5 m的木板。质量 m = 1 kg的物块以 v₀ = 3 m/s的水平速度从木板左端滑上。物块与木板间的动摩擦因数 μ = 0.2，g取 10 m/s²。求：

(1) 二者达到共速时的速度；

(2) 物块能否从木板右端滑出；

(3) 系统因摩擦产生的热量。

图 2　滑块—木板模型

【解析】

(1) 水平方向系统动量守恒：

mv₀ = (m+M)v_共　⟹　v_共= mv₀/(m+M) = (1×3)/3 m/s = 1 m/s

(2) 滑动摩擦力 f = μmg = 0.2×1×10 N = 2 N。由能量守恒，系统机械能的减少量等于摩擦生热：

f·Δx = ½mv₀² − ½(m+M)v_共²

2Δx = ½×1×3² − ½×3×1² = 4.5 − 1.5 = 3　⟹　Δx = 1.5 m

最大相对位移 Δx = 1.5 m，恰好等于板长 l，故物块恰好滑到木板右端（临界），不能滑出。

(3) Q = f·Δx = 2×1.5 J = 3 J

第四部分　变式精练（2022—2026 年高考真题）

变式一　2025·广西卷 15 题（传送带·功能关系）

【题目】图甲为某智能分装系统工作原理示意图，每个散货经倾斜传送带由底端 A运动到顶端 B后水平抛出，撞击冲量式传感器使其输出一个脉冲信号，随后竖直掉入与水平传送带共速的货箱中，此系统利用传感器探测散货的质量，自动调节水平传送带的速度，实现按规格分装。倾斜传送带与水平地面夹角为 30°，以速度 v₀匀速运行。若以相同的时间间隔 Δt将散货以几乎为 0 的速度放置在倾斜传送带底端 A，从放置某个散货时开始计数，当放置第 10 个散货时，第 1 个散货恰好被水平抛出。散货与倾斜传送带间的动摩擦因数 μ = (√3)/2，到达顶端前已与倾斜传送带共速。设散货与传感器撞击时间极短，撞击后竖直方向速度不变，水平速度变为 0。每个长度为 d的货箱装总质量为 M的一批散货，若货箱之间无间隔，重力加速度为 g。分装系统稳定运行后，连续装货，某段时间传感器输出的每个脉冲信号与横轴所围面积均为 I（如图乙），求这段时间内：

(1) 单个散货的质量；

(2) 水平传送带的平均传送速度大小；

(3) 倾斜传送带的平均输出功率。

图 3　智能分装系统（图甲：装置示意；图乙：F-t脉冲信号）

【解析】

(1) 散货到达顶端前已与倾斜传送带共速，到达顶端水平抛出，故到达顶端时速度大小为 v₀。F-t图像与横轴所围面积表示力的冲量，散货撞击传感器的过程，在水平方向由动量定理：

−I = 0 − mv₀　⟹　m = I/v₀

(2) 每个货箱所装散货的个数 N = M/m = Mv₀/I。由于每隔 Δt释放一个散货，货箱装完的运动时间 t = NΔt = Mv₀Δt/I。货箱与水平传送带共速，故水平传送带的平均传送速度

v′ = d/t = Id/(Mv₀Δt)

(3) 散货在倾斜传送带上的加速阶段，由牛顿第二定律：

μmgcos30° − mgsin30° = ma

a = (√3/2)×(√3/2)g − ½g = ¾g − ½g = ¼g

t₁ = v₀/a = 4v₀/g，　x₁ = v₀²/(2a) = 2v₀²/g

放置第 10 个散货时第 1 个恰好被抛出，则 A、B间长度

L = x₁ + v₀(9Δt − t₁) = 9v₀Δt − 2v₀²/g

在 Δt内传送带额外多做的功，包括散货增加的动能、重力势能以及摩擦生热：

W = ½mv₀² + mgLsin30° + Q′，　其中 Q′ = μmgcos30°·Δx

Δx = v₀t₁ − x₁ = 2v₀²/g　⟹　Q′ = ¾mg·(2v₀²/g) = (3/2)mv₀²

代入 m = I/v₀、L = 9v₀Δt − 2v₀²/g化简得

W = Iv₀ + (9/2)IgΔt，　P̄ = W/Δt = I(2v₀ + 9gΔt)/(2Δt)

变式二　2025·海南卷 17 题（圆弧＋传送带＋碰撞·多运动组合）

【题目】足够长的传送带固定在竖直平面内，半径 R = 0.5 m、圆心角 θ = 53° 的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接。工件 A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台上与 B碰成一整体，AB随后滑上传送带。已知 m_A = 4 kg，m_B = 1 kg，A、B可视为质点，AB与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上运动的过程中因摩擦生热 Q = 2.5 J，忽略轨道及平台的摩擦，g取 10 m/s²。求：

(1) A滑到圆弧最低点时受的支持力；

(2) A与 B整个碰撞过程中损失的机械能；

(3) 传送带的速度大小。

图 4　圆弧轨道—平台—水平传送带装置

【解析】

(1) A从圆弧顶点滑到最低点，机械能守恒：

m_Ag(R − Rcos53°) = ½m_Av₀²

10×(0.5 − 0.5×0.6) = ½v₀²　⟹　v₀ = 2 m/s

在最低点，由牛顿第二定律：

F_N − m_Ag = m_Av₀²/R　⟹　F_N = 40 + 4×2²/0.5 = 72 N，方向竖直向上

(2) A、B发生完全非弹性碰撞，动量守恒：

m_Av₀ = (m_A + m_B)v_共　⟹　v_共= (4×2)/5 = 1.6 m/s

ΔE = ½m_Av₀² − ½(m_A+m_B)v_共² = 8 − 6.4 = 1.6 J

(3) 设传送带速度为 v（v与 v_共 的大小关系未定，需分类讨论），AB与传送带的加速度 a = μg。

① 若 v < v_共：AB滑上传送带后先减速后匀速，设经 t₁与带共速，则 v = v_共 − at_1，

x_相= x_AB − x_带= [(v_共+v)/2]t₁ − vt₁ = [(v_共−v)/2]t₁

Q = μ(m_A+m_B)g·x_相= 2.5 J　⟹　v = 0.6 m/s（另一解大于 v_共，舍去）

② 若 v > v_共：AB先加速后匀速，设经 t₂与带共速，则 v = v_共+ at_2，

x_相= x_带 − x_AB = vt₂ − [(v_共+v)/2]t₂ = [(v−v_共)/2]t₂

Q = μ(m_A+m_B)g·x_相= 2.5 J　⟹　v = 2.6 m/s（另一解小于 v_共，舍去）

故传送带的速度大小为 0.6 m/s或 2.6 m/s。

变式三　2024·湖北卷（多选）（子弹打木块·滑块—木板能量）

【题目】如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为 M、长为 L的木块，质量为 m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小 f与射入初速度大小 v₀成正比，即 f = kv₀（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小 v₀，若木块获得的速度最大，则（　　）

A. 子弹的初速度大小为 2kL(m+M)/(mM)

B. 子弹在木块中运动的时间为 2mM/[k(m+M)]

C. 木块和子弹损失的总动能为 k²L²(m+M)/(mM)

D. 木块在加速过程中运动的距离为 mL/(m+M)

图 5　子弹打木块模型

【解析】子弹与木块组成的系统在水平方向合外力为零，动量守恒。

若子弹未射出木块，最终两者共速 v：

mv₀ = (m+M)v　⟹　v = mv₀/(m+M)

子弹初速度越大，射入越深；当子弹恰好不射出木块时，木块获得的速度最大，此时相对位移等于板长 L，由能量守恒：

½mv₀² = ½(m+M)v² + fL = ½(m+M)v² + kv₀L

½mv₀² − m²v₀²/[2(m+M)] = kv₀L　⟹　mMv₀²/[2(m+M)] = kv₀L

v₀ = 2kL(m+M)/(mM)　→　A正确

对子弹用动量定理（子弹受阻力 −f，f = kv₀）：

−kv₀t = mv − mv₀ = −mMv₀/(m+M)　⟹　t = mM/[k(m+M)]　→　B错误

木块与子弹损失的总动能等于阻力做的功：

ΔE_k = fL = kv₀L = k·[2kL(m+M)/(mM)]·L = 2k²L²(m+M)/(mM)　→　C错误

木块做初速度为零的匀加速运动，其在加速过程中的位移：

x = (v/2)·t = [mv₀/2(m+M)]·[mM/k(m+M)] = mL/(m+M)　→　D正确

故选 A、D。

变式四　2024·新课标卷 25 题（薄板＋物块＋平抛·多运动组合）

【题目】如图，一长度 l = 1.0 m的均匀薄板初始时静止在一光滑平台上，薄板的右端与平台的边缘 O对齐。薄板上的一小物块从薄板的左端以某一初速度向右滑动，当薄板运动的距离 Δl = l/6 时，物块从薄板右端水平飞出；当物块落到地面时，薄板中心恰好运动到 O点。已知物块与薄板的质量相等，它们之间的动摩擦因数 μ = 0.3，g取 10 m/s²。求：

(1) 物块初速度大小及其在薄板上运动的时间；

(2) 平台距地面的高度。

图 6　薄板—物块—平台边缘 O

【解析】

(1) 设物块和薄板质量均为 m。物块相对薄板向右滑动，物块受向左的滑动摩擦力做匀减速运动，薄板受向右的滑动摩擦力做匀加速运动，两者加速度大小相等：

a = μmg/m = μg = 3 m/s²

薄板位移 Δl = l/6 = 1/6 m，由匀加速运动位移公式：

Δl = ½at²　⟹　t = √(2Δl/a) = √(2×1/6/3) s = 1/3 s

物块相对平台（对地）的位移为 l + Δl = 7l/6，由匀减速运动位移公式：

7l/6 = v₀t − ½at²　⟹　v₀ = 4 m/s

(2) 物块离开薄板时，薄板的速度：

v₁ = at = 3×(1/3) m/s = 1 m/s

此后薄板在光滑平台上不受外力，做匀速直线运动；物块做平抛运动。物块离开时薄板已移动 l/6，其中心到 O点的距离为 l/2 − l/6 = l/3，由题意物块落地时薄板中心恰好到达 O点，则

t′ = (l/3)/v₁ = (1/3)/1 s = 1/3 s

h = ½gt′² = ½×10×(1/3)²m = 5/9 m

第五部分　方法提炼与易错提醒

一、解题四步法

第一步　审题分过程：把运动按"接触面、速度、运动性质"的变化切分成子过程。

第二步　抓速度桥梁：前一过程的末速度 = 后一过程的初速度；有碰撞时用动量守恒衔接。

第三步　选定律：直线匀变速用动力学/动能定理；碰撞用动量守恒；竖直圆用牛顿定律＋能量；平抛用分解。

第四步　列方程、验区间：分类讨论的题，解出后要检验是否落在所设区间。

二、四大高频易错

易错 1　把"物块对地位移"当作"相对位移"来算热量。做功看对地位移，生热看相对位移。

易错 2　忽略传送带问题的分类讨论。带速与物块速度大小关系未知时，必须分情况。

易错 3　混淆"传送带对物块做的功"与"电动机多消耗的电能"：前者为 f·x_物，后者为 f·x_带。

易错 4　多过程题漏掉某个子过程（尤其碰撞前后的速度突变），导致速度桥梁断裂。