中考复习第13讲 | 二次函数：图象性质+平移+三种设法+最值（12题精练）

初中数学 · 中考一轮复习 · 第 13 讲

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📌 本讲导读
初中函数的三兄弟，一次函数是直线、反比例是双曲线，只有二次函数是一条会拐弯的曲线——正因为会拐弯，它才成了中考压轴题的常驻嘉宾。
二次函数的题看着五花八门，其实只考四件事：看图说话（图象与 a、b、c 的符号）、挪来挪去（平移）、求解析式（三种设法）、找最高最低（最值）。这四件事练成肌肉记忆，剩下的都是换个包装。
12 题按这四条线排好，第 9 题开始上强度，最后一题是中考原题的标准骨架。

一、知识清单

① 三种表达式：一个函数，三张面孔
· 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；
· 顶点式：y=a(x−h)²+k，顶点就是 (h，k)；
· 交点式：y=a(x−x₁)(x−x₂)，x₁、x₂ 是与 x 轴交点的横坐标。
三张面孔随时互换：配方把一般式变顶点式；因式分解或求根把它变交点式。
a≠0 是二次函数的"身份证"，题目里凡是出现"函数 y=(m−1)x²+…"，第一件事就是让二次项系数不为 0。

② 图象与性质：一条抛物线，四句话说完
对称轴 x=−b/(2a)，顶点 (−b/2a，(4ac−b²)/4a)。
· a＞0：开口向上，顶点是最低点，最小值 y=(4ac−b²)/4a；在对称轴左侧递减、右侧递增。
· a＜0：开口向下，顶点是最高点，最大值 y=(4ac−b²)/4a；增减性正好反过来。
· |a| 越大开口越小（瘦），|a| 越小开口越大（胖）。
对称轴公式里的负号是丢分重灾区：x=−b/2a，不是 b/2a。

③ a、b、c 与 b²−4ac：看图说话的四个开关
· a 看开口：向上 a＞0，向下 a＜0；
· b 看对称轴位置："左同右异"——对称轴在 y 轴左侧，a、b 同号；在右侧，a、b 异号；
· c 看与 y 轴的交点：交于正半轴 c＞0，交于负半轴 c＜0，过原点 c=0；
· b²−4ac 看与 x 轴的交点个数：＞0 两个、=0 一个（顶点在 x 轴上）、＜0 没有。
另外两个高频式子：a+b+c = y(1)，a−b+c = y(−1)，4a+2b+c = y(2)——符号看图上对应点的纵坐标。

④ 平移：左加右减，上加下减（只动 x 和常数）
把 y=a(x−h)²+k 向右 m 个单位：x 换成 (x−m)；向左 m 个：x 换成 (x+m)；向上 n 个：整体 +n；向下 n 个：整体 −n。
"左加右减"加减的是 x 本身，不是括号里那一整坨。若拿到一般式，先配方再平移，比直接代换少一半错误。
翻折口诀：沿 x 轴翻折 ⇒ 整体添负号（开口反向、顶点上下对称）；沿 y 轴翻折 ⇒ x 换成 −x；绕顶点旋转 180° ⇒ 只把 a 变号。

⑤ 求解析式：看给什么条件，选哪张面孔
· 给任意三点 → 设一般式，代入解三元一次方程组；
· 给顶点 + 另一点（或"最值""对称轴+一点"）→ 设顶点式 y=a(x−h)²+k，只求 a；
· 给两个 x 轴交点 + 另一点 → 设交点式 y=a(x−x₁)(x−x₂)，只求 a。
选对形式，能少解两个未知数。给顶点还硬设一般式，是考场上最亏的十分钟。

⑥ 最值：先看对称轴在不在区间里
· 无区间限制：最值就在顶点，a＞0 取最小值、a＜0 取最大值；
· 有区间限制 [m，n]（"在 m≤x≤n 上求最值"）：
　对称轴在区间内 → 顶点值就是最值，另一端点是另一个最值；
　对称轴在区间外 → 顶点用不上，直接比两个端点。
· 含参对称轴（如"当 x≥1 时 y 随 x 增大而增大"）：把"递增"翻译成"对称轴在 1 的左边或正好在 1"，列不等式解 m。
"x≥1 时递增" ⇔ 对称轴 ≤1，等号是能取的——这一点错了就是整题错。

二、题型精讲

题型一看图说话：由图象定 a、b、c 的符号
抛物线 y=ax²+bx+c 的开口向下，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于负半轴，判断 a、b、c 的符号。

思路：三步走，一步一个开关。
开口向下 ⇒ a＜0；
对称轴 x=−b/(2a)＞0，而 2a＜0 ⇒ −b＜0 ⇒ b＞0（也可用"左同右异"：轴在右侧 ⇒ a、b 异号 ⇒ b 与 a 反号）；
与 y 轴交于负半轴 ⇒ c＜0。
结论：a＜0，b＞0，c＜0。三个符号定完，abc＞0 这种问法就顺手出来了。

题型二平移：先配方，再动 x
将抛物线 y=2x² 先向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，求所得抛物线的解析式；再求它沿 x 轴翻折后的解析式。

思路：y=2x² 的顶点是 (0，0)。
向右 3、向下 1 ⇒ 顶点变成 (3，−1)，开口不变 ⇒ y=2(x−3)²−1。
沿 x 轴翻折：开口反向、顶点关于 x 轴对称变成 (3，1) ⇒ y=−2(x−3)²+1。
用顶点盯住平移，比在括号里数加减号稳得多。

题型三求解析式：看条件选面孔
已知抛物线与 x 轴交于 (−1，0)、(3，0)，且经过点 (0，−3)，求它的解析式。

思路：给了两个 x 轴交点 ⇒ 直接上交点式。
设 y=a(x+1)(x−3)，代入 (0，−3)：−3=a·1·(−3) ⇒ a=1。
y=(x+1)(x−3)=x²−2x−3。回验：x=0 得 −3 ✓。

题型四区间最值：对称轴在不在里面
求二次函数 y=−x²+4x+1 在 0≤x≤3 上的最大值和最小值。

思路：配方 y=−(x−2)²+5，对称轴 x=2，开口向下。
2 在 [0，3] 内 ⇒ 顶点取最大值 5；
最小值比两个端点：y(0)=1，y(3)=−9+12+1=4 ⇒ 最小值 1。
若把区间改成 0≤x≤1，轴就在区间外，函数整段递增，最大 y(1)=4、最小 y(0)=1。

题型五实际应用：利润最大化的标准套路
某商品进价 20 元/件，售价 30 元时每天可卖 100 件；售价每涨 1 元，每天少卖 5 件。设售价为 x 元（x≥30），求日利润 w 的最大值及此时的售价。

思路：四步——设、列、配、答。
单件利润 = (x−20)；销量 = 100−5(x−30) = 250−5x；
w=(x−20)(250−5x)=−5x²+350x−5000=−5(x−35)²+1125。
a=−5＜0，x=35 时 w 取最大值 1125 元，且 35≥30 符合题意。
最后一定回看自变量的实际范围（x≥30 且销量不为负），顶点跑出范围就得改用端点。

三、考点速查表

四、巩固练习（12 题）

1. 抛物线 y=−2(x−1)²+3 的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？它有最大值还是最小值，是多少？
2. 把抛物线 y=x²−4x+5 化成顶点式，并写出对称轴与最小值。
3. 抛物线 y=ax²+bx+c 的开口向下，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于负半轴，判断 a、b、c 的符号。
4. 将抛物线 y=2x² 先向右平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，求所得抛物线的解析式；再求它沿 x 轴翻折后的解析式。
5. 已知抛物线与 x 轴交于 (−1，0)、(3，0)，且经过点 (0，−3)，求它的解析式。
6. 抛物线 y=x²−2x−3 与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？当 x 取何值时 y＜0？
7. 抛物线 y=ax²+bx+c 经过 (1，0)、(3，0)，且最小值为 −2，求 a、b、c 的值。
8. 已知二次函数 y=x²−2mx+3（m 为常数），当 x≥1 时 y 随 x 增大而增大，求 m 的取值范围。
9. 求二次函数 y=−x²+4x+1 在 0≤x≤3 上的最大值和最小值。
10. 抛物线 y=ax²+bx+c 的开口向上，对称轴为直线 x=1，与 x 轴的一个交点为 (−1，0)。判断：①abc 的符号；②b²−4ac 的符号；③当 x＞1 时 y 随 x 增大而增大；④a+b+c 的符号。
11. 某商品进价 20 元/件，售价 30 元时每天可卖 100 件；售价每涨 1 元，每天少卖 5 件。设售价为 x 元（x≥30），求日利润 w 的最大值及此时的售价。
12. 抛物线 y=x²+bx+c 与 x 轴交于 A(−1，0)、B(3，0) 两点。（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 是抛物线上一点，若 S_△PAB=8，求点 P 的坐标。

五、逐题解析

1. 开口向下，对称轴 x=1，顶点 (1，3)，有最大值 3
   。a=−2＜0 ⇒ 开口向下；顶点式直接读出对称轴与顶点；开口向下时顶点最高，最大值就是顶点的纵坐标 3。
2. y=(x−2)²+1；对称轴 x=2；最小值 1
   。配方：x²−4x+5=(x²−4x+4)+1=(x−2)²+1。a=1＞0 ⇒ 顶点最低 ⇒ 最小值 1。
3. a＜0，b＞0，c＜0
   。开口向下 ⇒ a＜0；对称轴在 y 轴右侧 ⇒ a、b 异号 ⇒ b＞0；与 y 轴交于负半轴 ⇒ c＜0。（顺带：abc＞0。）
4. y=2(x−3)²−1；翻折后 y=−2(x−3)²+1
   。顶点由 (0，0) 平移到 (3，−1)，开口不变；沿 x 轴翻折，开口反向、顶点变为 (3，1)。
5. y=x²−2x−3
   。设 y=a(x+1)(x−3)，代入 (0，−3)：−3=−3a ⇒ a=1；展开得 y=x²−2x−3。回验：x=0 时 y=−3 ✓。
6. 与 x 轴交于 (−1，0)、(3，0)，与 y 轴交于 (0，−3)；−1＜x＜3
   。令 y=0：x²−2x−3=0 ⇒ (x−3)(x+1)=0；令 x=0 得 y=−3。开口向上，图象在两交点之间位于 x 轴下方 ⇒ −1＜x＜3。
7. a=2，b=−8，c=6
   。两交点为 (1，0)、(3，0) ⇒ 对称轴 x=2，最小值 −2 ⇒ 顶点 (2，−2)。
   设 y=a(x−2)²−2，代入 (1，0)：0=a−2 ⇒ a=2；展开 y=2x²−8x+6。回验：x=3 时 18−24+6=0 ✓。
8. m≤1
   。开口向上，对称轴 x=m；"x≥1 时 y 随 x 增大而增大" ⇔ 对称轴在 1 的左侧或与 1 重合 ⇔ m≤1。等号可以取：对称轴正好在 x=1 时，x≥1 这一段仍在对称轴右侧，依然递增。
9. 最大值 5，最小值 1
   。配方 y=−(x−2)²+5，对称轴 x=2 落在 [0，3] 内，开口向下 ⇒ 顶点取最大值 5。
   端点：y(0)=1，y(3)=4 ⇒ 最小值 1。
10. ①abc＞0；②b²−4ac＞0；③正确；④a+b+c＜0
    。
    开口向上 ⇒ a＞0；对称轴 x=1 ⇒ b=−2a＜0；一个交点 (−1，0)，由对称性另一个交点为 (3，0) ⇒ 过 (−1，0)、(3，0) ⇒ c=−3a＜0。故 abc＞0。
    与 x 轴有两个交点 ⇒ b²−4ac＞0。x＞1 在对称轴右侧且开口向上 ⇒ 递增，③正确。
    a+b+c=y(1)，即顶点纵坐标，开口向上的顶点在 x 轴下方 ⇒ ＜0。（也可由 y=a(x+1)(x−3)，y(1)=−4a＜0 得到。）
11. 售价 35 元时，日利润最大，为 1125 元
    。单件利润 x−20，销量 100−5(x−30)=250−5x，
    w=(x−20)(250−5x)=−5x²+350x−5000=−5(x−35)²+1125。
    a=−5＜0 ⇒ x=35 时取最大值 1125；35≥30 且销量 250−175=75＞0，符合实际。回验：(35−20)×75=1125 ✓。
12. （1）y=x²−2x−3；（2）P(1+2√2，4)、P(1−2√2，4) 或 P(1，−4)
    。
    （1）设 y=(x+1)(x−3)=x²−2x−3。
    （2）AB=3−(−1)=4，S_△PAB=½×4×|y_P|=8 ⇒ |y_P|=4 ⇒ y_P=4 或 −4。
    y=4：x²−2x−3=4 ⇒ x²−2x−7=0 ⇒ x=1±2√2，得两点 (1±2√2，4)；
    y=−4：x²−2x−3=−4 ⇒ x²−2x+1=0 ⇒ (x−1)²=0 ⇒ x=1，得 (1，−4)（此时 P 恰为顶点）。
    "面积为定值的点"一般有 2 个或 3 个，别忘了顶点那一侧也满足。

🧠 方法速记卡
① 三个开关看图：a 看开口、b 看"左同右异"、c 看 y 轴交点，Δ 看 x 轴交点个数；
② 两个代值式：a+b+c=y(1)、a−b+c=y(−1)，符号直接看图；
③ 平移盯顶点：左加右减动的是 x，上加下减动的是整体；一般式先配方；
④ 求式看条件：三点一般式、顶点顶点式、两交点交点式——形式选对，一半的活就干完了；
⑤ 最值分两类：无区间看顶点，有区间先看轴在不在里面，轴在外就比端点；
⑥ 含参单调：把"某段递增/递减"翻译成"对称轴在界点哪一侧"，列不等式，等号能不能取要单独想一遍。

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