高一数学:期中基本不等式专项训练
- 2026-11-10 07:39:20
高一数学:期中基本不等式专项训练🔥 期中必考 · 专项训练 期中基本不等式专项训练📐 小贺老师讲高中数学 | 7大题型+27道期中真题+完整解析 📖 小贺老师讲个故事：你知道吗？基本不等式的本质是什么？就是两个正数的算术平均数 ≥ 几何平均数！公式很简单：a+b≥2√ab但为什么做题还是不会？因为题目不会直接给你a+b和ab，它会变形！凑项、凑系数、凑"1"、换元……变形多了，你就懵了！今天这篇文章，就是帮你把所有变形归类，以后看到题就知道用哪种方法！ ✦ ✦ ✦ 🔍 一、核心公式 ⭐ 基本不等式：a>0,b>0⇒a+b2≥√ab即：a+b≥2√ab当且仅当a=b时取等号！ ⚠️ 三个条件（缺一不可）：✅一正：a>0,b>0✅二定：a+b或ab是定值✅三相等：等号能取到 ✦ ✦ ✦ 📦 二、7种考法总览 💡 7种题型（从易到难）：✅题型1：直接套公式（第1–5题）✅题型2：凑配法（第6–10题）✅题型3：分式函数最值（第11–15题）✅题型4："1"的妙用（第16–20题）✅题型5：消元法（第25–26题）✅题型6：恒成立问题（第22、27题）✅题型7：综合与实际应用（第21、23、24题） ✦ ✦ ✦ 📝 三、题型1：直接套公式 💡 题型特征：题目直接给两个正数的和（或积），求积（或和）的最值。直接套公式！ 【1】（北京期中）若a>0,b>0，且a+b=1，则（ ）A．ab最大值14B．ab最大值12C．ab最小值14D．ab最小值18 ✅ 答案：A详解：由基本不等式：a+b≥2√ab1≥2√ab∴ab≤14当且仅当a=b=12时取等号。 【2】（河北唐山期中）当x=（ ）时，函数f(x)=x+1x（x>0）取得最小值。 ✅ 答案：x=1详解：x>0，f(x)=x+1x≥2√x·1x=2当且仅当x=1x，即x=1时取等号。 【3】（上海期中）若正数x,y满足x+y=12，则xy的最大值为？ ✅ 答案：116详解：xy≤(x+y2)2=(14)2=116当且仅当x=y=14时等号成立。 【4】（内蒙古期中）若0<x<1，则x(3-3x)的最大值是？ ✅ 答案：34详解：x(3-3x)=3x(1-x)≤3·(x+(1-x)2)2=3·14=34当且仅当x=1-x，即x=12时等号成立。 【5】（广东茂名期中）函数f(x)=x+4x（x>0）的最小值是？ ✅ 答案：4详解：f(x)=x+4x≥2√x·4x=4当且仅当x=4x，即x=2时等号成立。 ✦ ✦ ✦ 📦 四、题型2：凑配法 💜 题型特征：题目给的不是正好的形式，需要凑项、凑系数，让它变成能用基本不等式的样子。核心：凑成"积定值"！ 【6】（江西南昌期中）已知x>1,y>0，满足x+y=2，则1x-1+4y的最小值是？ ✅ 答案：9第一步：凑！因为x+y=2，所以(x-1)+y=1 第二步：乘1展开！1x-1+4y=(1x-1+4y)[(x-1)+y]=1+yx-1+4(x-1)y+4=5+yx-1+4(x-1)y 第三步：用基本不等式！≥5+2√yx-1·4(x-1)y=5+4=9当且仅当yx-1=4(x-1)y，即y=2(x-1)，结合(x-1)+y=1，得x=43,y=23。 【7】（安徽马鞍山期中）若0<x<32，则x(3-2x)取最大值时x的值是？ ✅ 答案：x=34详解：x(3-2x)=12·2x(3-2x)≤12·(2x+(3-2x)2)2=12·94=98当且仅当2x=3-2x，即x=34时等号成立。 【8】（陕西咸阳期中）已知x≥0，则x+1x+1的最小值为？ ✅ 答案：1详解：x+1x+1=(x+1)+1x+1-1≥2√(x+1)·1x+1-1=2-1=1当且仅当x+1=1x+1，即x=0时取等号。 【9】（江苏徐州期中）已知x>2，则x+1x-2的最小值是？ ✅ 答案：4详解：x+1x-2=(x-2)+1x-2+2≥2√(x-2)·1x-2+2=2+2=4当且仅当x-2=1x-2，即x=3时取到等号。 【10】（湖南长沙期中）已知x>0，则x+4x+1的最小值为？ ✅ 答案：3详解：x+4x+1=(x+1)+4x+1-1≥2√(x+1)·4x+1-1=4-1=3当且仅当x+1=4x+1，即x=1时等号成立。 ✦ ✦ ✦ 📦 五、题型3：分式函数最值 📌 三种分式形式：①分子二次，分母一次：y=ax2+bx+cmx+n②分子一次，分母二次：y=mx+nax2+bx+c③分子二次，分母二次：y=ax2+bx+cdx2+ex+f 💡 解题步骤：（1）判断分式形式（2）二次比一次：换元法，令t=mx+n，拆成对勾形式（3）分子二次分母二次：分离常数，转化为上面两种 ⚠️ 易错提醒：① 忽略自变量符号，不保证每项都是正数② 换元后忘记新元取值范围③ 不检验等号能否取到！ 【11】（浙江绍兴期中）若-1<x<1，则y=x2-2x+22x-2有（ ）A．最大值-1B．最小值-1C．最大值1D．最小值1 ✅ 答案：A详解：因-1<x<1，则0<1-x<2y=-12·(1-x)2+11-x=-12[(1-x)+11-x]≤-12·2√(1-x)·11-x=-1当且仅当1-x=11-x，即x=0时取"=" 【12】（福建泉州期中）函数f(x)=3x-32x2-x+1在(1,+∞)上的最大值为？ ✅ 答案：37详解：令x-1=t，则t>0f(t)=3t2t2+3t+2=32t+3+2t≤32√2t·2t+3=37当且仅当2t=2t，t=1即x=2时等号成立。 【13】（浙江杭州期中）（1）若x>0，求x+4x的最小值（2）若x>2，求f(x)=x2-2x+4x-2的最小值 ✅ 答案：（1）4，x=2；（2）6，x=4（1）详解：x+4x≥2√x·4x=4当且仅当x=4x，即x=2时等号成立。 （2）详解：f(x)=x2-2x+4x-2=(x-2)2+2(x-2)+4x-2=x-2+4x-2+2≥2√(x-2)·4x-2+2=6当且仅当x-2=4x-2，即x=4时等号成立。 【14】（安徽六安期中）（1）已知x>1，求x2+2x-1x-1的最小值（2）已知x>0,y>0，x+4y=xy，求x+y的最小值 ✅ 答案：（1）4+2√2；（2）9（1）详解：x2+2x-1x-1=x+3+2x-1=x-1+2x-1+4≥2√(x-1)·2x-1+4=4+2√2当且仅当x-1=2x-1，即x=√2+1时取等号。 （2）详解：由x+4y=xy，得4x+1y=1x+y=(4x+1y)(x+y)=5+4yx+xy≥5+2√4yx·xy=9当且仅当4yx=xy，即x=2y，结合4x+1y=1，得x=6,y=3。 【15】（江苏常州期中）（1）设x>0,y>0，且xy=4，求1x+1y的最小值（2）设x>-1，求(x+3)(x+4)x+1的最小值 ✅ 答案：（1）1；（2）2√6+5（1）详解：1x+1y≥2√1xy=2√14=1当且仅当x=y=2时等号成立。 （2）详解：(x+3)(x+4)x+1=[(x+1)+2][(x+1)+3]x+1=(x+1)2+5(x+1)+6x+1=(x+1)+6x+1+5≥2√(x+1)·6x+1+5=2√6+5当且仅当x+1=6x+1，即x=√6-1时取等号。 ✦ ✦ ✦ 💜 六、题型4："1"的妙用 💜 题型特征：已知ma+nb=1，求Aa+Bb的最小值。核心：整体乘1，展开凑定值！ 【16】（江苏南通期中）已知x>0,y>0，且4x+1y=1，则2x+y+2xy的最小值为（ ）A．12 B．13 C．17 D．19 ✅ 答案：C详解：2x+y+2xy=(4x+1y)·(2x+y)+2xy=8+1+4yx+2xy+2xy=9+4yx+4xy≥9+2√4yx·4xy=17当且仅当4yx=4xy，即x=y，结合4x+1y=1，得x=y=5。 【17】（广东江门期中）已知x>0,y>0，且3x+y=1，则1x+3y的最小值为？此时x=？ ✅ 答案：最小值12，x=16详解：1x+3y=(3x+y)(1x+3y)=6+9xy+yx≥6+2√9xy·yx=12当且仅当9xy=yx，即3x=y=12时取等号。 【18】（湖南长沙期中）已知a>0,b>0，1a+1b=1，则a+b的最小值是？ ✅ 答案：4详解：a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab≥2+2√ba·ab=4当且仅当a=b=2时取等号。 【19】（浙江杭州期中）已知x>0,y>0，x+y=2，则2x+3+1y+1的最小值为？ ✅ 答案：12+√23详解：设m=x+3,n=y+1，则m+n=62x+3+1y+1=(2m+1n)(m6+n6)=13+n3m+m6n+16≥12+√23当且仅当n3m=m6n，即m=√2n，结合m+n=6，此时x=9-6√2,y=6√2-7。 【20】（浙江杭州期中）已知x,y均为正数，满足1x+9y=1，则4x+y的最小值为？ ✅ 答案：25详解：4x+y=(4x+y)(1x+9y)=13+yx+36xy≥13+2√yx·36xy=25当且仅当yx=36xy，即x=52,y=15时取等号。 ✦ ✦ ✦ 🔥 七、题型5：消元法 🔥 题型特征：两个变量有约束关系，先消掉一个变量，再求最值。 【25】（福建三明期中）已知正数a,b，且ab=a+b，则下列正确的是（ ）A．a+b的最小值为4B．a+b的最大值为4C．ab的最大值为4D．a+b的最小值为2 ✅ 答案：A详解：由ab=a+b，得ab-a-b=0，即(a-1)(b-1)=1，故a>1,b>1。令t=a+b=ab>0，由基本不等式a+b≥2√ab，得t≥2√t，两边除以√t得√t≥2，即t≥4，当且仅当a=b=2时取等号。所以a+b=ab的最小值为4，无最大值，选 A。 【26】（云南昆明期中）已知x,y为正实数，且x+y=1，则1x+4y的最小值为？ ✅ 答案：9详解：1x+4y=(1x+4y)(x+y)=1+yx+4xy+4=5+yx+4xy≥5+2√yx·4xy=9当且仅当yx=4xy，即y=2x时取等号。 ✦ ✦ ✦ 🚀 八、题型6：恒成立问题 ⚠️ 解题思路：f(x)≥m恒成立⇔m≤f(x)minf(x)≤m恒成立⇔m≥f(x)max 【22】（期中真题）若对任意x>0，不等式x+1x≥m恒成立，则实数m的最大值为？ ✅ 答案：2详解：x+1x≥2√x·1x=2当且仅当x=1时取等号，所以x+1x的最小值为2故m≤2，即m的最大值为2。 【27】（江苏扬州期中）已知x>0,y>0，且1x+1y=1，x+y≥m恒成立，则实数m的取值范围为？ ✅ 答案：m≤4详解：x+y=(x+y)(1x+1y)=2+yx+xy≥2+2√yx·xy=4当且仅当x=y=2时取等号所以x+y的最小值为4，故m≤4。 ✦ ✦ ✦ 🎯 九、题型7：综合与实际应用 💡 综合题型特点：学完函数和基本不等式后，期中最爱考综合题！① 函数式拆分 + 基本不等式求最值② 实际应用问题（利润、面积、用料）③ 先根据题意建立变量关系，再求最值 【21】（期中真题）函数f(x)=x2+3x+4x（x>0）的最小值为？ ✅ 答案：7详解：f(x)=x2+3x+4x=x+3+4x=(x+4x)+3≥2√x·4x+3=7当且仅当x=4x，即x=2时取等号。 【23】（期中真题·实际应用）用一段长为36m的铁丝网围成一个矩形场地，并在场地中间用一段铁丝网将它隔成两个全等的矩形，求该矩形场地面积的最大值。 ✅ 答案：54m2详解：设矩形水平方向边长为x，竖直方向边长为y，则3x+2y=36，面积S=xy。∵3x+2y=36≥2√3x·2y=2√6xy∴36≥2√6xy，∴xy≤54当且仅当3x=2y，即x=6,y=9时取等号。 【24】（期中真题·利润问题）某商店购进一批单价为20元的日用品，如果按单价30元销售，那么半个月内可以售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。如何提高销售单价，才能在半个月内获得最大利润？ ✅ 答案：提高5元，即单价35元时利润最大详解：设销售单价提高x元，利润为y元，则y=(30+x-20)(400-20x)=(10+x)(400-20x)=20(10+x)(20-x)=-20(x-5)2+4500当x=5时，y取最大值4500元。 ✦ ✦ ✦ 📝 十、口诀速记 🌟 基本不等式口诀：一正二定三相等，凑项凑数凑定值。"1"的妙用乘一乘，分式换元最常用。 💜 小贺老师划重点：✅ 看到和定，想求积最大✅ 看到积定，想求和最小✅ 看到分式，先换元或分离常数✅ 看到"1"的条件，直接整体乘1✅ 看到恒成立，转化为求最值 小贺老师 · 初高中数理提分专家 ✏️期中基本不等式专项训练 · 7大题型27道真题觉得有用就转发给同学吧 💪
基本不等式是不是期中必考？但为什么你做题还是懵？不知道什么时候用凑项法、什么时候用"1"的代换、什么时候换元？今天小贺老师把7种考法全给你整理好了，看完直接套！
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