九年级数学上册|《圆》超全知识点总结+练习题
- 2026-11-11 04:32:29
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本章知识地图
·29.1 圆的有关概念（定义·基本元素·点与圆的位置关系）
·29.2 圆的有关性质（对称性·垂径定理·弧弦圆心角·圆周角·圆内接四边形）
·29.3 弧长和扇形面积（弧长·扇形面积·圆锥侧面积）
1、圆的定义与基本元素
【知识点】 圆是平面内到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形；定点O叫圆心，定长r叫半径。基本元素：弦（连接圆上任意两点的线段）、直径（经过圆心的弦，是最长的弦）、弧（圆上任意两点间的部分；小于半圆的叫劣弧，大于半圆的叫优弧；半圆既不是劣弧也不是优弧）、等圆（半径相等、能够重合的两个圆）、等弧（在同圆或等圆中能够互相重合的弧）。
【例题】 例1 判断并说明理由：(1)直径是弦；(2)弦是直径；(3)半圆是弧；(4)弧长相等的两条弧是等弧。 解答：(1)正确，直径经过圆心，是特殊的弦；(2)错误，弦不一定经过圆心；(3)正确；(4)错误，"等弧"必须在同圆或等圆中才能成立。
【建议】 概念辨析是圆的入门关。牢记"直径 ⊂ 弦""半圆是弧但不属于劣弧/优弧"；使用"等弧"一词前，务必先确认两个弧是否在同圆或等圆中。
2、点与圆的位置关系
【知识点】 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r，d< r ⇔ 点在圆内；d= r ⇔ 点在圆上；d > r ⇔ 点在圆外。反过来同样成立。
【例题】 例2 ⊙O的半径 r = 5，点P到圆心O的距离 OP = d。(1)若 d = 3，点P在______；(2)若 d = 5，点P在______；(3)若 d > 5，点P在______；解答：(1)圆内（d<r）；(2)圆上（d=r）；(3)圆外(d>5)
【建议】 这是"数形结合"的第一课：把"位置关系"转化为 d 与 r 的"数量大小比较"。以后要证明"某点在圆上"，只需证明它到圆心的距离等于半径。
3、圆的对称性
【知识点】 圆既是轴对称图形——任意一条直径所在的直线都是它的对称轴（有无数条）；又是中心对称图形——圆心是它的对称中心。
【例题】 例3 下列说法正确的是（ ）A. 圆只有一条对称轴B. 圆有无数条对称轴C. 圆不是中心对称图形D. 过圆心的线段是对称轴 解答：B 正确。注意对称轴是"直线"，直径所在的直线才是对称轴，直径是线段。
【建议】 考试常挖坑：把"直径"说成"对称轴"。请记住：对称轴是直线，且圆有无数条。
4、垂径定理
【知识点】 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言：如图，CD 是直径，CD⊥AB 于 M，则 AM = BM，弧AC = 弧BC，弧AD = 弧BD。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
【例题】 例4 如图，⊙O 的半径为 5，弦 AB = 8，OC⊥AB 于 C，求 OM 的长。 解答：由垂径定理，M为 AB 中点，AM = 4。在 Rt△OAM 中，OA = 5，由勾股定理得 OM = √(5² − 4²) = 3。
【建议】 垂径定理是圆的"万能钥匙"。遇弦就想到"作垂线、连半径、构直角"，利用"半径、半弦、弦心距"组成的直角三角形（勾股定理）解题。
5、弧、弦、圆心角的关系
【知识点】 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等（即"知一推二"）。
【例题】 例5 在 ⊙O 中，∠AOB = ∠COD，则下列结论错误的是（ ）A. 弧AB = 弧CDB. AB = CDC. ∠OAB = ∠OCDD. 弦AB > 弦CD 解答：D 错误，应 AB = CD。
【建议】 使用该定理必须强调"同圆或等圆"的前提；它是把"角"转化为"弧""弦"的桥梁，证明弧相等常转证圆心角或弦相等。
6、圆周角定理
【知识点】 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角（90°）；③90°的圆周角所对的弦是直径。
【例题】 例6 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，∠BAC = 30°，求 ∠BOC。 解答：直径所对的圆周角 ∠ACB = 90°；由圆周角定理，∠BOC = 2∠BAC = 60°。
【建议】 "直径 ⇒ 直角"是圆中最常用的隐含条件，看到直径立刻构造直角三角形；反过来，要证某弦是直径，可证它所对的圆周角是 90°。
7、圆内接四边形
【知识点】 圆内接四边形的对角互补（和为 180°）；圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。
【例题】例7 圆内接四边形 ABCD 中，∠A = 100°，则 ∠C = ______，∠B + ∠D = ______。 解答：∠C = 180° − 100° = 80°；∠B + ∠D = 180°。
【建议】 圆内接四边形常与圆周角定理合用，证角的关系时别忘了"对角互补"这一隐藏结论。
8、弧长和扇形面积
【知识点】 弧长 l = nπr/180（n 为圆心角度数，不带单位）；扇形面积 S = nπr²/360 = ½lr；圆锥侧面积 S侧 = πrl（r 为底面半径，l 为母线长），全面积 S全 = πrl + πr²。
【例题】例8 半径为 6，圆心角为 120° 的扇形，求弧长与面积。 解答：l = 120π×6/180 = 4π；S = 120π×6²/360 = 12π（或 ½×4π×6 = 12π）。
【建议】 公式里的 n 是"度数"不带单位；扇形面积的两种形式灵活选用；圆锥问题关键是厘清"母线 = l、底面半径 = r、侧面展开扇形半径 = l"。
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