2027届开明系初三数学期中试卷压轴题解析

今日分享开明系初三期中试卷，对第 16 题、26 题、27 题进行深度解析。需要原卷电子稿的朋友，已分享在qq群：1046538585.  考查范围精准对齐苏科版初三上学期前半段进度：

代数模块：一元二次方程（概念、解法、根的判别式及根与系数关系，如 17(2)、20 题）、反比例函数（图象与性质、比例系数几何意义、待定系数法与综合应用，如 1、4、6、9、15、23、25 题）。

几何与三角模块：锐角三角函数（定义、特殊角三角函数值、解直角三角形及实际应用，如 3、7、12、17(1)、19 题）、圆的基本性质与切线（点/直线与圆的位置关系、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形、切线的判定与性质、尺规作图，如 2、5、8、10、11、13、14、16、21、22、24 题）。

综合与实践探究：第 22 题（建筑中的几何模型）、第 26 题（定理探究与新定义阅读）、第 27 题（风力发电光影中的跨学科数学建模）。原题呈现：16.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，4个单位长度为半径作⊙O，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，0），现有一条过点B的弦CD，点P为弦CD的中点，连接AP，则当∠OAP最大时，线段OP的长度为  ____ .

【亮点解析】连接OP，点P为弦CD中点，易证明OP⊥CD，而OB=2，显然满足“定弦定角”点P在以OB为直径的E上，如图1.

那么，∠OAP何时最大呢？

显然，当AP与E在右侧相切时，∠OAP最大.为什么呢？有必要解释一下，可以进行如下定量分析：如图，过点E作EG⊥AP，在Rt△AEG中，sin∠EAG=≤↓↓↓故当G与P重合时，∠OAP取最大值，此时AP与E在右侧相切.计算就比较容易了.等积法，OP·AE=2OE·OA→OP=

26.（14分）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段PM，MA组成折线段PMA，点B在折线段PMA上，若PB＝BM+MA，则称B是折线段PMA的中点．【理解应用】（1）如图2，已知⊙M的半径为1，作PA切⊙M于点A，且PA＝2，连接AM、PM，若点B是折线段PMA的中点，则PB的长为___.

【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线段ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，从点M向BC作垂线，垂足为D，则CD＝AB+BD．这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“作垂法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．

（2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，结合图3，补全证明过程．【定理应用】（3）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为上一点，连接DB、DC，若tan∠ABD＝，作AE⊥CD于点E，△BCD的周长为17，BC＝5，则AC的长为 ____．（4）如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，△ABC内接于⊙O（A、B、C均是格点），点A、D关于BC对称，连接BD并延长交⊙O于点E，连接CE．请用无刻度直尺作直线l，使得直线l平分△BCE的周长.【亮点解析】

本题考查新定义折线段、阿基米德折弦定理（作垂法、双全等证明）、解直角三角形、三角形周长平分线（网格作图）.(1)PB=(2)半成品补全证明，这类试题最近几年比较常见，避开复杂证明过程的书写.再证明Rt△MDB≌Rt△MHB(HL)→BD=BH又AH=AB+BH→CD=AB+BD（3）做这类结论应用类试题，要想不卡壳，就要"死盯"着结论的应用，由AB=AC→点A为的中点，且AE⊥CD.

CE=(BD+CD)=6=→tan∠ACD=tan∠ABD=→AE=3→AC=

(4)根据题意，容易想到如下方案，直线l与△BCE的边有两个交点，一个是某条边的中点，另一个是其余两边组成的折线段的中点，按照这个思路，很容易发现如下作法：方法1.易取的中点F（格点），连接CF，交BE于点G，恰好此时FG⊥BE，故G为折线BEC的中点，再取BC中点H，则过G、H的直线l即为所求.方法2.作折线段BCE的中点P，取BE中点Q，则过P、Q的直线l即为所求.同样的思路，作法的复杂程度明显差异较大.27.（12分）综合与实践：风力发电机的光影探究【问题背景】

在平原、海上、山上常见到三叶风力发电装置，其工作原理简单说来：就是风推动叶片旋转，把风能变成机械能，再变成电能.

如图1是平原上某三叶风力发电机，其三叶片完全相同，均匀分布，叶片长为80米，相邻两片叶片夹角为120°（即∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°）. 塔筒OD垂直于水平地面，D为垂足，OD=90米．

当太阳光线垂直照射叶片OA时，整个发电装置在地面上的影子在一条直线上，其中叶片OA、OB形成的折线段AOB的影子为EF，太阳光线与地面所夹锐角为α，且tanα＝k.【问题感知】（1）利用图1，证明：BC//AF；（2）当影长EF为200米时，此时k的值为___.

【问题探究】（3）如图2，叶片OA绕O顺时针旋转，旋转角度为θ（0°<θ< 90°）.由于时间很短，太阳光线与地面所夹锐角α可以看成不变，整个发电装置的影子依然可以看成在同一条直线上. 设叶片端点A在地面影子G到D点的距离为s米.① 当θ＝30°时，求s的值；② s＝____．（用含θ的式子表示）

【拓展延伸】（4） 当太阳光线垂直照射叶片OA时，且整个发电装置的影子在同一条直线上. 如果叶片OA、OB形成的折线段AOB的影子在水平地面上的距离EF不小于160米，请直接写出k的取值范围为___．【亮点解析】（1）方法很多，常见方法为延长AO交BC于点H，易证∠AHB=90°，故∠A=∠AHB→BC∥AF.或者，直接利用五边形AOCEF内角和540°→∠CEF+∠F=180°→BC∥AF.（2）如下图，过E作EG⊥AF，易求k=tanα=（3）这里要说明一下，在第（2）问的条件下（即太阳光线与地面夹角满足tanα=k保持不变）.①当θ＝30°时， HQ=OT=40，HG=，DH=120.

→s=DG=+120.②计算思路与上相同，HQ=OT=OAcosθ=80cosθ，在Rt△HQG中，HG=cosθ.→s=（4）因为光线始终与OA垂直，影子EF可以看成为线段AH在太阳光下的影子，如图，EF=≥160→sinα≤→tanα≤.又t＞0，故有：0＜t≤

这份开明系初三期中卷结构扎实、梯度分明，150分严格按7:2:1配比，圆、反比例函数、锐角三角函数、方程四条主线覆盖到位，前100分基础底盘稳、信度高；最大亮点是真实情境的深度落地（杠杆平衡、月洞门五举法、镜片度数、风机光影），以及第26题“现场学定理”和第16、27题“动中找定”的高阶思维考查；主要失分点集中在第16题的隐圆转化、第26(4)的网格作图，27题的实物投影与k的下界遗漏，后续复习宜在夯实运算通法的同时，强化“几何直观先发现、逻辑推理再确认”的图形结构化经验，并持续训练长文本情境的“数学翻译”能力。

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