【中考数学】题型归类复习专题突破-09-几何最值-03胡不归、阿氏圆问题

【知识梳理】

1. 胡不归

(1)模型：如图1-1，A，B为定点，P为直线BM上一动点，求的最小值().

图1-1

(2)辅助线：如图1-2，构造直线BN，使sin∠MBN=k，过点P作PC⊥BN于点C.

图1-2

(3)结论：如图1-3，当A，P，C三点共线时，PA+kPB取最小值.

图1-3

(4)证明：如图1-3，作直线BN使sin∠MBN=k，

过点P作PC⊥BN于点C，

过点A作AC¢⊥BN于点C¢,

∵sin∠MBN=k，

∴PC= sin∠MBN·PB=kPB,

∴PA+kPB=PA+PC≥AC¢，

即当A，P，C三点共线时，

PA+kPB取最小值.

2. 阿氏圆(阿波罗尼斯圆)

(1)模型：如图2-1，A，B为两个定点，P为圆上的动点，求kPA+PB的最小值，其中 .

图2-1

(2)辅助线：如图2-2，在OA上截取一点A¢，使得，连接OP，A¢P.

图2-2图2-3

(3)结论：如图2-3，当A，P，B三点共线时，kPA+PB最小，最小值为A¢B.

(4)证明：如图2-3，在OA上截取一点A¢，

使得 ，连接OP，AP.

∵

∴△OAP¢≌△OAP，

∴即A¢P=kPA， 

∴kPA+PB=A¢P+PB≥BA¢.

当A¢，P，B三点共线时，

kPA+PB最小，最小值为A¢B.

【真题演练】

1. 如图所示，四边形ABCD是菱形，AB=8，且∠ABC=60°，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，则2AM+BM的最小值为.

2. 如图，在△ABC中，∠A=15°，AB=2，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，则AP+PB的最小值是.

3. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为BC边中点，连接AE，P为AE上动点，F为PD中点，则2BF+CF的最小值为.

4. 如图，正△ABC的内切圆半径为1，P为内切圆上一动点，则BP+CP的最小值为.

5. 如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，圆O是正方形的内切圆，P为圆上一点，连接PA、PB，则PA+PB的最小值为.

6. 如图，正方形ABCD中，AB=2，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM，BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM,连接DF，CF，则2DF+FC的最小值为.

7. 如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB=2，则AP+BP+CP的最小值为.

8. 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设D是线段AC上任意一点(不含端点)，连结OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙0的直径AB的长为.

9. 如图，在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，2)，C(1，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为.

10.正方形ABCD的边长为4，点G在以AB为直径的半圆O上移动，M、N分别是CD、CB的中点，

则2NG+MG的最小值为，MG+NG的最小值为.

11.如图，点A、B在圆O上，OA⊥OB，OA=OB=12，点C是OA的中点，点D在OB上，OD=10，点P是圆0上一动点，则PC+PD的最小值为.

12.如图，在扇形COD中，∠COD=60°，0C=2点B在OD上，OB=3，点A在0C上，且OA=2，点P为弧CD上的

动点，则 3PA+PB 的最小值为.