傅里叶级数
傅里叶级数与巴塞尔问题推导
(中国科学技术大学,2020) 证明:
并计算 和 .
证明:为了证明该等式,我们构造一个周期为 的连续周期函数 ,使其在区间 上的表达式为 .由于 是定义在 上的偶函数,其傅里叶级数仅包含余弦项,即 .
首先计算傅里叶系数.
对于 的余弦系数,通过分部积分法计算:
由此可见,当 为偶数时,；当 为奇数(记为 )时,.
根据傅里叶级数收敛定理,由于 在 上连续且分段可微,级数处处收敛于 :
移项并整理上式,即可得证:
计算 在上式中令 ,代入得
利用全体正整数级数可分解为奇项与偶项之和的性质:
通过方程 ,解得:
计算 根据帕塞瓦尔(Parseval)恒等式
代入系数得:
整理得
化简得到奇数项级数和:
同理利用奇偶分解:
解得
