【试卷解析】天津一中五月考,到底有没有“送温暖”?| 门尼 - 巴拉莱卡 (The Rod)
本张试卷，部分题目和天津高考风格差别蛮大，绝大部分题目难度没有很高．在此声明：此类推测均基于个人学习经验总结，不具备权威性．若本人分享的观点与各位同学的任课老师观点存在分歧，请务必以任课老师的讲解为准．教师拥有专业的教学经验与系统的知识体系，其指导更具权威性，也更贴合高考考点要求．若有同学因过度轻信本人个人观点、未听从教师指导，导致学习出现问题或备考受到影响，本人不承担任何相关责任．只是把常见的结构换了一个说法，M即为熟悉的焦点在渐近线上的射影，P为MF1的中点，后面的步骤就相当常规了．第9题和天津高考的风格并不够匹配，但是四个序号的提示铺垫得比较到位，考生如果注意序号的提示有更大几率解出本题．抽象向量的具象化，浙江高考的风格；这种题一般图解会比代数计算简便许多．笔者构建了如下的图形：如此一来，第1问即为|b|≥|a-b|sin30°=2；第2问容易联想到极化恒等式的结构，取BC中点M，于是|AM|²-|BM|²=-15/4，得到|AM|=1/2．c-λa即表示点A向直线BD上任一点引出的向量，其模大于等于A点到BD的距离，又大于等于|BM|sin30°-|AM|=1/2．本题依然是以极点极线作为背景，笔者懒得再用Geogebra画本题的图了，直接画了一个圆中的图，反正仿射变换保有我们需要使用的所有射影几何中的结论．我们直接把问题推广为：P,D为圆O上的任两点，A,C为对径点，P,D处的切线交于M，AP与CD交于N，则MN与AC垂直．作CA与DP的交点X，熟知M对圆O的极线为PD，所以X在M的极线上；于是M在X的极线上．又熟知N也在X的极线上（考虑完全四边形XACDNP），所以X的极线即为MN．因为X的极线垂直于AC，所以MN⊥AC．可以看出，如果去掉A,C为对径点的条件，极点极线的结构仍然成立，只不过XAC和MN就没有确定的位置关系了．回到原题，前面已经证明MN⊥AC，即y轴，因为CD斜率确定，所以MN与CD的夹角确定，事实上为30°．解析之前，先来说一下本题中的几个不严谨、不妥当之处．首先，伴随数列的示例提示有缺陷．按照题干的定义，数列1,3,5的伴随数列应为1,1,2,2,3,3,3,3,...，为无穷数列；而即便强行定义有穷数列的伴随数列是有穷数列，题目也没有说明无穷数列的伴随数列是有穷的还是无穷的．这就导致考生面对第(2)(3)问的默认无穷数列只能“蒙”着认为伴随数列是无穷的．笔者在考场上向巡场老师提出了疑问，但也显然不会得到明确的答复．其次，题干的某些语句不必要，如“即bm为……最大值”．最后，第(3)问冒出的参数c非常突兀且莫名其妙，还容易给考生带来需要根据c的取值分类讨论的错误引导，实际上根据总题干第一个条件，a1只能为1；何况本题第3问显然比第2问还要简单．原题的第3问确实比第2问难度更高，而且也含有不明所以的参数c；更幽默的是，原题又给出了一个全新的有穷数列的伴随数列定义．下面作简单解析．第2问简单找规律即可，下面呈现的是完整严谨的过程．b1无法用这个通项公式表示，但不影响结果，这里就不再单独列出了．第3问更简单，an为1,3,5,...，所以bn为1,1,2,2,3,3,...，分m为奇偶求和即可．明显看出函数结构带有2025年新高考一卷压轴题的感觉：但是题目本身大相径庭．第2问卡住了不少同学，笔者直接采取了分参的策略——底气在于，我们熟知cos3x的展开式中含有cosx这个因式．事实上，cos(3x)=cos(2x+x)=cos(2x)cos(x)-sin(2x)sin(x)=(2cos²(x)-1)cos(x)-2sin²(x)cos(x)=4cos³(x)-3cos(x)令笔者“失望”的是，参考答案采用了同样的方法，于是直接粘贴过程：第3问明显也是两部分拼到一起的，x1和x3使用极值点偏移，x2单独估值．因为极值点只能用反三角函数来表示，所以题目给的界相对宽松，上面提到的两部分证明任务的界都可以做相应的调整．笔者的拆分思路也与答案基本一致，答案过程也比较长，这里就不再贴出了，读者可以自行搜索查阅．
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