从“会算面积”到“会量面积”:面积复习课的度量意义渗透实践

何瑞清：

葛敏辉名师工作室成员，现任教于江北小学教育集团月亮湾校区。多次在课堂评审中获奖，并有多篇论文获奖。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，第一学段和第二学段“图形的认识与测量”教学，应引导学生“感悟统一度量单位的意义”，“基于度量单位理解图形长度、角度、面积、体积”。史宁中教授也指出：“度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学进而认识现实世界的工具。”度量的核心在于用一个标准单位去量化事物的某一属性。

《面积》单元是学生从一维长度度量走向二维面积度量的关键。然而在教学中经常会遇到这样的问题：学生能记住面积公式，完成相关计算，但在面积与周长的概念区分上存在困难；不能真正理解“长度是长度单位个数的累加、面积是面积单位个数的累加”这一度量本质，不同维度的度量在他们眼中仍是相互割裂的。

授课前，笔者对任教班级42名学生进行了前测，共设计3道题，分别指向单位选择、单位换算、概念区分三个维度。（如图1）。

（一）整体概览

从数据看，学生对面积计算和相邻单位换算等基础技能掌握较好，但数据较大时填单位错误明显增加，换算单位不相邻时正确率降至50%左右。以下聚焦三个典型问题：

1. 单位选择——“标准”与“数量”割裂

在“正方形手帕的面积约400（ ）”一题中，错误9人（约21%）。典型错误为填“dm²”。访谈中有学生说：“看到手帕就想到了dm²。”说明其只关注了标准，知道面积要用面积单位，手帕应该用dm²去量，却忽视了对数量的考量，400这个数配上dm²，面积就太大了。

2. 单位进率——相邻会做，相隔就错

相邻单位换算正确率很高，但“2平方米＝（ ）平方厘米”等不相邻换算，错误率高达48%。从度量角度看，单位换算的本质是同一个量，换了标准，数出来的个数也要跟着换，学生更多记住的是乘10乘100之类的方法，没有意识到换算的本质是换标准之后重新数个数。

3. 概念区分——“两个16”混为一谈

第（2）问中，能正确说明“边框和玻璃不是一回事”的学生仅约35%。学生虽然能分别计算周长和面积，但在意义层面仍将两者混为一谈，未能真正理解：个数相同，标准不同，度量的意义也就不同。

三类错误看似不同，实则都指向同一个问题：学生对度量单位的理解仍停留在表面，尚未形成“定标准——数个数”的度量观念。这正是本节复习课需要突破的核心。

基于前测暴露的三个典型问题，本课以“定标准——数个数”为暗线，设计了四个递进环节：知识整理唤醒已有经验，错例诊断聚焦单位本质，操作探究深化单位累加的理解，拓展迁移运用度量模型解决问题。

（一）知识整理——在比较中发现“结构化”

师：同学们，课前大家已经用自己喜欢的方式，对“面积”这一单元的知识进行了整理。我们一起来看看大家是怎么整理的（如图3）。

师：对比自己的作品，你有什么想说的？

生1：他们整理得更全面。

师：我们一起来看看他们都整理了哪些知识。

生1：“什么是面积”——物体表面或封闭图形的大小就是它们的面积。

生2：面积单位——平方厘米、平方分米、平方米。

师：这些单位你还记得吗？1平方厘米大约多大？1平方分米呢？

生3:1平方厘米大约一个指甲盖那么大，1平方分米大约一个手掌心那么大。

师：（板贴“面积单位”）面积单位是我们测量面积时用的“标准尺子”。还整理了什么呢？

生4：长方形和正方形的面积计算。

师：（板贴“面积计算”）长方形的面积怎么算？

生齐：长方形的面积=长×宽。

师：正方形的面积呢？

生齐：正方形的面积=边长×边长。

师：对比这三幅作品，你又有什么想说的？

生5:1号看不大清楚，2号3号感觉有分过类，看着也清楚些。

师：以后你们在整理知识时，也可以像他们一样用图示的方法来呈现，让知识间的关系更明了。

设计意图：复习课的首要功能在“理”。以学生课前整理图为载体，通过观察、比较，让学生自主发现图示化整理能让知识关系更明了；同时回顾面积意义、单位、计算等核心知识，激活已有经验，从“操作层面”到“本质理解”做铺垫。

诊断一：单位选择——手帕面积填什么？

师：（出示错题统计及典型错例）这一题，全班有9位同学填错了。

师：填“dm²”的同学，你当时是怎么想的？

生1：看到手帕就想到了dm²。

师：你想到了用dm²这个标准，其他同学有什么要提醒他的吗？

生2：还得注意前面的数字。

师：他说的是什么意思？

生3：就是要把数字和单位结合起来看。

师：对啊，400平方分米是多大？

生4:400平方分米=4平方米，比我们教室的黑板还大！

师：一块手帕有4平方米那么大吗？

生齐：没有，太大了。

师：400平方厘米大约多大？

生5:4个手掌心大小。

师：这样比较符合一块手帕的大小。

师：看来，除了要定好标准，还要数一数个数，看看和实际大小符不符合。

（板书：定标准——数个数）

诊断二：概念区分——两个“16”分别在哪儿？

师：小华说：“两个算式都是4×4＝16，所以相框的边框和玻璃是一回事。”你们觉得小华说得对吗？

生1：不对！边框是围在画四周的，玻璃是盖在画面上的。

师：请大家在格子图上描一描，找一找这两个“16”分别在哪儿？

（在格子图上分别描出边框的一圈和面积的大小）。

师：两个16一样吗？

生5：不一样，一个是长度，一个是面的大小。

师：所以小华的问题出在哪儿？

生6：他只看到算式相同，没有分清长度和面积。

师：是呀，一个表示16条1分米的长度，另一个表示16个1平方分米的大小。同样是16，单位不一样，表示的意义就不一样！

设计意图：本环节以学生课前练习中的典型错误为资源，聚焦“度量”这一核心问题。诊断一通过“看到手帕想到dm²”暴露“只定标准、不数个数”的问题；诊断二通过“两个16是一回事吗”的辨析，暴露“只看个数、不看标准”的问题。两次诊断共同指向度量就是“定标准”和“数个数”。

（三）操作探究——在对比中深化“单位累加”

本环节设计两个递进式操作活动，从“拼”到“围”，从“面积单位累加”到“长度单位累加”，在对比中深化对度量本质的理解。

活动一：在方格图上画面积是16dm²的长方形

操作要求：在方格图上（每个小方格表示1dm²），画出一个面积是16dm²的长方形（长和宽都是整分米）。你能画出几种？

师：你画的长方形面积是16dm²，你是怎么知道的？

生1：我画了一行小方格，有16个。

生2：我的是一行8个，有2行，一共16个。

生3：我画的是一行4个，有4行，一共16个。

师：也就是说，你们都是在数里面有多少个1dm²的小方格。面积，就是数出来的。

核心追问：观察表格，你发现了什么？

学生发现：面积都是16平方分米，但周长不一样；长和宽越接近，周长越短；长和宽相等时变成正方形，周长最短。

阶段小结：面积相等的图形，周长不一定相等。

活动二：在方格图上画周长是16dm的长方形

操作要求： 在方格图上，画出一个周长是16dm的长方形（长和宽都是整分米）。你能画出几种？

教师巡视发现部分小组出现遗漏或重复，介入引导：“怎样才能做到不重复不遗漏？想一想长和宽之间有什么关系？”

师：你画的周长是16dm，你是怎么确定的？

生1：长7dm，宽1dm，周长=（7+1）×2＝16dm。

师:他的算式是在数什么？

生2：在数外围的长度

师：也就是说，周长也是数出来的，数一圈里面有多少个1dm的长度单位。

核心追问：观察表格，你又发现了什么？

学生发现：周长都是16分米，但面积不一样；长和宽越接近，面积越大；长和宽相等时变成正方形，面积最大。

阶段小结：周长相等的图形，面积不一定相等。

对比反思：两个“数”，方法一样吗？

师：仔细观察这张表，你有什么发现？

生1：量的是不同的东西，用的标准也不一样。

生2：方法好像是一样的，都是数单位的个数。

小结：长度和面积的度量，用的单位不同，数的东西也不同，但他们都是在数单位的个数。

设计意图：两个活动分别让学生直观体验“面积＝面积单位的累加”“周长＝长度单位的累加”。同样是16，拼法不同则周长不同；同样是16，围法不同则面积不同。最后通过对比呈现两个活动的信息，让学生自主发现：虽然量的是不同的东西、用的标准不同，但方法完全一致，指向本课关键：无论长度还是面积，度量的本质都是“数出有几个这样的单位。

（四）拓展迁移——用度量模型解决问题

问题呈现：一张卡纸长5dm，宽3dm，剪成边长是3cm的正方形，最多能剪几个？

（学生独立思考后，呈现两种典型算法）

算法一：5×3＝15dm²＝1500cm²，1500÷9＝166（个）……6（cm²）

算法二：50÷3＝16（个）……2（cm），30÷3＝10（个），16×10＝160（个）

师：两种算法，你同意哪一种？为什么？

生1：我同意第二种。因为剪正方形的时候，剩下的边角料剪不出完整的正方形了。大面积除以小面积会多算。

师：那你能具体说说，大面积除以小面积到底多算了多少吗？

生1：算法一算出来是166个，但实际只能剪160个，多算了6个。

师：多算了6个，也就是多算了6个9平方厘米，一共54平方厘米。那这54平方厘米去哪儿了？

生2：被边角料浪费了，不能拼成完整的正方形。

师：现在我们再来看课件演示，验证一下你们的想法。

（演示剪的过程，边角料区域清晰可见）

师：长边剩下2cm，这一条边角料能剪出边长3cm的正方形吗？

生齐：不能。

师：所以面积除法多算了。那第二种方法为什么行？

生3：它是用小正方形的边长去分长和宽，长边能放16个，宽边能放10个，一共160个。

师：也就是说，咱们用的标准必须能完整地放进去。能用今天所学解释吗？（指向板书：定标准——数个数）

生4：这里是用3cm×3cm的正方形作标准，数能剪出多少个。

生5：这也是在量面积，只是标准变了，最后都是在数标准的个数。

师：太棒了！所以，不管是1cm²、1dm²，还是边长3cm的正方形，度量的方法都是先定标准，再数个数。

设计意图：本环节通过两种算法的对比分析，引导习惯用大面积除以小面积解决问题的同学，让他们意识到方法的局限性，从而回到“度量就是数单位个数”的原点去解决问题。通过课件演示，直观感受剩余的“边角料”无法继续分割，强化了“标准单位不可分割”的度量本质。更重要的是，当学生说出“这也是在量面积，只是标准变了”时，说明他们已经初步建立了可迁移的度量观念。

四、教学启示：埋下一颗“度量”的种子

整理与复习课应遵循“先理后练、以理促悟”的基本逻辑。本课四个环节的设计指向明确：知识整理帮助学生回顾单元核心内容、构建知识结构；错例诊断聚焦典型错误、剖析归因，为后续的“探”明确方向；操作探究在对比中感悟度量本质，深化认知；拓展迁移运用模型解决实际问题，完成知识的应用与巩固。

当然，度量一致性的感悟是一个长期过程，需要在后续的三角形面积、体积等学习中不断深化。本课只是埋下一颗“度量的种子”，让学生初步感知到“度量就是数单位的个数”，至于这颗种子能否长成对“度量一致性”的结构化理解，还需在后续教学中持续浇灌。