【中考数学】题型归类复习专题突破-03-四边形中的最值问题

四边形中的最值问题

Ø课前预习

1.解决几何最值问题的理论依据：

①___________________________________

（已知两个定点）

②___________________________________

（已知一个定点、一条定直线）

③___________________________________

（已知两边长固定或其和、差固定）

2.几何最值问题基本结构分析（请根据所求目标，画图找出符合要求的点的位置）

①利用几何变换进行转化

（求PA+PB的最小值）

（求AM+BN的最小值）

求的最大值）

②利用图形性质进行转化

（求点D到O的最大距离）

Ø知识点睛

解决几何最值问题的通常思路：

1.分析定点、动点，寻找不变特征．

2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；

若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．

转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．

Ø讲与练

1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．

2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC边上，则以AC为对角线的所有□ADCE中，DE长度的最小值为_____________．

3.若点D与点A(8，0)，B(0，6)，C(a，)是一平行四边形的四个顶点，则CD长度的最小值为_____________．

4.如图，已知AB=2，C是线段AB上任一点，分别以AC，BC为斜边，在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，则DE长度的最小值为_____________．

5.如图，已知AB=10，C是线段AB上任一点，分别以AC，BC为边，在AB的同侧作等边三角形ACP和等边三角形BCQ，则PQ长度的最小值为_____________．

6.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为________________．

7.如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E，F分别在线段AB，AD上，将△AEF沿EF翻折，点A的对应点记为P．

（1）当点P落在线段CD上时，PD的取值范围是_______．

（2）当点P落在直角梯形ABCD内部时，PD长度的最小值为_____________．

8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，则在旋转过程中，DG长度的最大值为____________．

9.如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，顶点A的坐标为(0，6)，BC的中点D在点A下方的y轴上，E是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE长度的最小值为_________．

10.探究：如图1，在等边三角形ABC中，AB=6，AH⊥BC于点H，则AH=_______，△ABC的面积为__________．

发现：如图2，在等边三角形ABC中，AB=6，点D在AC边上（可与点A，C重合），分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为点E，F，设BD=x，AE=m，CF=n．

 （1）用含x，m，n的代数式表示及；

（2）求()与x之间的函数关系式，并求出()的最大值和最小值．

应用：如图，已知正方形ABCD的边长为1，P是BC边上的任一点（可与点B，C重合），分别过点B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别为点B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为______，最小值为______．

11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P，Q分别是边BC，AC上的动点，将△PCQ沿PQ翻折，点C的对应点为C′，连接AC′，则AC′长度的最小值是_________．

12.如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点之间的距离的最大值是____________，最小值是____________．

13. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB，BC上（含端点）．

若AB=6cm，BC=10cm，则的取值范围是_________．

14.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，点M，N分别在边AB，AC上，将△AMN沿MN翻折，点A的对应点为，连接，则长度的最小值为___________．

15.如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN．当点P在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值之差为____________．

16.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．若E为线段AB的中点，则在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，线段EC₁长度的最大值是__________，最小值是___________．

17.如图，在△ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，P为BC边上任一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF中点，则线段PM长度的最小值为_____________．

18.正方形ABCD的边长为a，P是BC边上任意一点（可与B，C重合），B，C，D三点到射线AP的距离分别是h_1，h2，h3，设h₁+h₂+h₃=y，则y的最大值是________，最小值是_______．

19.如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则线段CD长度的最小值为_____________．

20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=4，在△ABC内部以AC为斜边任意作Rt△ACD，连接BD，则线段BD长度的最小值为____________．

21.如图，正方形ABCD的边长是2，以正方形ABCD的边AB为边，在正方形内作等边三角形ABE，P为对角线AC上的一动点，则PD+PE的最小值为_______________．

22.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，若P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任一点，则PK+QK的最小值为_______________．