今天这节课，我们正式进入微积分的大门——极限。

它是整个高等数学的基石，后面学的连续、导数、积分、级数，全都建立在极限之上。

一、数列极限：从“无限趋近”到“ε-N 语言”

1. 数列是什么？

按一定顺序排列的一列数 ，记作 。本质上是整标函数。

💡 建议：把数列看作数轴上的一个动点依次取值，画图理解更直观。

2. 直观定义（不可靠，但先建立感觉）

当  无限增大时， 无限趋近于常数 ，则称 。

⚠️ 注意：直观定义不可靠！比如  与  越来越接近，但极限是 1 不是 0。

3. 严格定义（ε-N 语言）

💡 建议：理解“任意给定 ε，总能找到一项之后，所有项都落在  内”。只有有限个点落在外面。

4. 几何解释

当  时，所有  都落在  内，只有至多  个点在外。

💡 例子：，取 ，只要  即可。

5. 收敛数列的性质

• 极限唯一
  ：收敛数列的极限只有一个。
• 一定有界
  ：收敛 ⇒ 有界；但有界不一定收敛, 如 。
• 保号性
  ：若 ，则从某项起 。
• 子数列同极限
  ：收敛数列的任一子列收敛于同一极限。

💡 建议：判断发散常用“两个子列极限不同”或“无界”。

二、函数极限：从  到 

1.  时的极限

💡 例子： 不存在，因为左右极限分别是  和 。

2.  时的极限（ε-δ 定义）

💡 关键： 表示  处可以无定义，极限与函数在该点是否有定义无关！

3. 左右极限与极限存在充要条件

何时需要考虑左右极限？

• 分段函数在分段点处
• 含 、、 等函数
• 含绝对值、根号等可能变号的表达式

4. 函数极限的性质

• 唯一性
  ：极限存在则唯一。
• 局部有界性
  ：极限存在 ⇒ 某去心邻域内有界。
• 局部保号性
  ：若 ，则某去心邻域内 。

💡 注意： 且极限存在，只能推出 ，不能推出 。例如 ，。

三、常见易错点与典型例题

1. 极限不存在的情形

• 左右极限不相等：如 
• 无限振荡：如 
• 趋于无穷：如 （极限不存在，但记为无穷大）

💡 建议：看到“极限不存在”不要慌，先判断是哪种类型。

2. 函数在一点有定义 ≠ 极限存在

💡 例子：，但 ，则 ，与  无关。

3. 有界与收敛的关系

• 收敛 ⇒ 有界 ✅
• 有界 ⇏ 收敛 ❌, 如 
• 无界 ⇒ 发散 ✅
• 发散 ⇏ 无界 ❌, 如 

💡 口诀：收敛一定有界，有界未必收敛；无界一定发散，发散未必无界。

四、课后练习与预习指引

📝 课后练习

1. 判断对错：
• 若 ，则  一定有界。
• 若  有界，则一定收敛。
• 若  无界，则一定发散。
2. 求极限：
• 
• 
• 
3. 设 ，且  存在，求 。
4. 证明：。

📖 预习指引

下一节我们将学习 无穷小与无穷大、极限的运算法则 和 两个重要极限：

提前翻翻教材，试着理解这两个极限为什么重要，它们将是后续求导、积分的基础工具！

💬 写在最后：极限的概念一开始会有点绕，但它是整个微积分的地基。多画图、多举反例、多问“为什么”，慢慢就通了。有问题随时在评论区留言，我们一起搞定高数！💪

📌 收藏这篇，复习不迷路！