回归真题——圆锥曲线中的轨迹问题

2012江苏卷的解析几何题目，很经典，就算是作为新高考题目也不过时，何况今年二卷的解析几何就是一个轨迹问题，可以采用交轨法解决。该题以椭圆为载体，以平行条件为纽带，以定值证明为落点，三个层次环环相扣、逐步深入。第(1)问奠定基础，第(2)(i)问训练运算，第(2)(ii)问升华思维。整体而言，这是一道"起点低、落点高、中间巧"的优秀解析几何综合题，下面我们看该题及其解法，

1、【来源】2012年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷)

如图，在平面直角坐标系  中，椭圆  的左、右焦点分别为 ，。已知  和  都在椭圆上，其中  为椭圆的离心率。

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设  是椭圆上位于  轴上方的两点，且直线  与直线  平行， 与  交于点 。

 (i) 若 ，求直线  的斜率；

 (ii) 求证： 是定值。

解析：

(1) ：求椭圆方程

已知关系：

由点  在椭圆上：

两边乘以 ：

由 ，得：

因此：

由点  在椭圆上：

代入 ：

椭圆方程为：

(2)

由 (1) 得 ，，且 。

设 、 的方程分别为：

设 ，，且 ，。

(i) 若 ，求直线  的斜率

由  方程  与椭圆联立：

代入 ：

整理得：

解得（取正根）：

计算 ：

代入 ：

注意到 ，所以：

同理求 ：

 方程 ，与椭圆联立得：

取正根：

由 (1)、(2) 得：

已知 ：

解得 ，由  得 。

直线  的斜率 。

(ii) 证明：法一(几何法)：

由 ，得：

即：

由椭圆定义，，所以 ：

同理：

两式相加：

由 (1)、(2) 得：

因此：

最终结果：

故  是定值。

方法二（交轨法）：

由 ，设 、 方程分别为 、，分别联立椭圆求出  坐标（用  表示），再写出直线  与  的方程，联立解得  的坐标 。

消去参数  后可得  的轨迹方程。由轨迹方程可判断  到两定点  的距离之和为定值，即 。