2027高三数学复习 | 函数奇偶性专题·分层提分与真题演练
- 2026-10-08 05:22:44
奇偶性是高考函数板块的高频考点。很多同学对它的认识停留在“判定函数是不是奇函数、偶函数”，但真正拉开差距的，是把“判定”升级成“运用”。本文分析历年高考真题，总结出函数奇偶性的六种考法及应对策略：判定 → 运算性质 → 求参数 → 求值补式 → 与单调性综合 → 抽象函数推理，每种方法配一道真题案例，讲清“什么时候用、怎么用”。
01 判断奇偶性
判函数的定奇偶性，定义域是前提， 是关键，可按三步走：
先看定义域是否关于原点对称，不对称直接下结论“非奇非偶”；
计算 并与 比较：相等为偶函数，互为相反数为奇函数，两者都不满足则非奇非偶；
也可借助图象：关于 y 轴对称是偶函数，关于原点对称是奇函数。
一句话：定义域不对称，一切免谈。这一步是所有后续方法的前提。
例题（2011年新课标卷·第2题）：下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 是奇函数，排除 A；
为偶函数，且 时即 单调递增，B符合；
为偶函数但在 上单调递减，排除 C；
为偶函数但单调递减，排除 D。故选 B。
02 运算性质与 求值
奇、偶函数四则运算与复合运算的规律：
，；
，，
；
奇函数 的绝对值 为偶函数；
复合函数中只要外层是偶函数或内层是偶函数，结果必为偶函数。
由此得到最常用的结论：奇函数 ，偶函数 。已知一侧函数值，可直接写出另一侧。
例题（2004年全国卷I·第2题）：已知 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】，故 为奇函数，。故选 B。
03 参数方程求参数
函数含参数且已知为奇（偶）函数，求参数取值。核心是 恒成立：
化简整理后比较系数，或令含 的因子恒为零；
定义域含 的奇函数必有 ，可作先导条件；
偶函数可取一对相反数列方程，所得结果务必回代验证。
例题（2023年新高考2卷·第4题）：若 为偶函数，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】 记 ，易知为奇函数；
偶函数要求 ，即 ，
又 ，得 ，故 。故选 B。
04 求函数值与补解析式
奇偶性建立了正负自变量处函数值、解析式的对应：
补解析式：已知一侧（如 ）的解析式，令 代入已知式，再用 回代，注意符号与定义域；
求函数值：在抽象关系式中对自变量赋特殊值（如 ）建立方程，再迭代到目标点。
例题（2016年新课标3卷·第15题）：已知 为偶函数，当 时 ，则曲线 在点 处的切线方程为____。
【解析】 当 时，由偶函数性质 ，
故 ；，。
切线方程为 ，即 。
05 奇偶与单调综合再解不等式
奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数单调性相反。解 型不等式时，常利用偶函数 把自变量统一到非负区间，再用单调性去掉 ，但始终注意定义域。
例题（2014年新课标2卷·第15题）：已知偶函数 在 上单调递减，，若 ，则 的取值范围是____。
【解析】。
为偶函数，；
又 在 上单调递减，故 ，解得 。
06 抽象函数推理
只给出函数方程、不给出解析式时，奇偶性要靠推理：
把函数方程中的自变量作对称替换（）或代入特定值，得到新等式；
与已知等式联立，消去无关项，解出 与 的关系；
按定义判断奇偶性。
另有一个通用模型：任意定义在对称区间上的函数 都可唯一分解为奇函数 与偶函数 之和。
例题（1993年全国卷·第8题）：设 （）是偶函数，且 不恒等于零，则 （ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．可能奇可能偶 D．非奇非偶
【解析】 记 ，
则 ，即 为奇函数。
为偶函数，即 ，
得 ，故 是奇函数。故选 A。
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