七下复习题10:硬币怎样取?买电脑为何只有两种方案?
- 2026-10-08 05:22:47
教材原题｜复习题10 拓广探索
11. 现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬币各取出多少枚？
12. 某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元。某中学现有资金100500元，计划全部用于从这家电脑公司购进36台两种型号的电脑。请你设计出几种不同的购买方案供这所学校选择，并说明理由。
同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第十章第119页的两道应用题。它们都有“总数量”和“总金额”，但列出方程后，还不能马上收笔。硬币只能一枚一枚取，电脑只能一台一台买，数量必须是整数；题目对库存、型号种类也有限制。读懂这些条件，才能找到真正可行的答案。
先猜一猜
三个未知数，只有两个方程，是不是一定无法求解？若算出买半台电脑，能不能四舍五入？这两题会告诉我们：实际问题里的整数、范围和种类条件，也在帮助我们确定答案。
01 · 统一金额单位，写出整数范围
第11题：怎样把“15枚、7元”写成方程？
设1角、5角、1元硬币分别取x、y、z枚。数量关系是x＋y＋z＝15。为避免小数，把7元换成70角，金额关系就是x＋5y＋10z＝70。
两式相减，消去x，得到4y＋9z＝55。别忘了库存：x、y、z都必须是从0到10的整数。题目说“各10枚”，不是说每种都取10枚，也不是说取出的数量可以无限多。
02 · 先限定范围，再检查能否整除
怎样缩小范围，找出唯一的取法？
因为y不能为负数，所以9z不能超过55，z只能取0至6。由4y＝55−9z可知，右边还必须是4的倍数。逐个检查，只有z＝3时，55−9z＝28，能被4整除。
于是y＝7，x＝15−7−3＝5。因此，1角取5枚，5角取7枚，1元取3枚。三个数量都没有超过各自的库存，数量和为15枚，金额为5×1＋7×5＋3×10＝70角，完全符合题意。
还可以少试几次：把4y＋9z＝55写成4（y＋2z）＋z＝55。前一项是4的倍数，55除以4余3，所以z除以4也余3。在0至6中，只有3符合。这是用余数筛选整数，不需要猜答案。
为什么这里敢说“唯一”？
因为我们已经检查了z所有可能的整数值，而不只是随手找到一个能凑出7元的组合。找到一组说明它可行；排查完全部可能，才能说明没有遗漏。解题时要把这个理由写出来。
03 · 看清“全部用完”和“恰好两种”
第12题：三种型号，为什么只买两种？
设购买A、B、C型电脑分别为a、b、c台。题目中的“全部用于”表示恰好花完100500元，所以有a＋b＋c＝36，6000a＋4000b＋2500c＝100500。
这里a、b、c都是非负整数。“两种型号”则意味着恰好一个数量为0，另外两个数量为正数。不能把它读成三种都买，也不能只看钱够不够而留下余额。
04 · 用替换理解消元，用整数筛选方案
先按最低单价算，再看多花了多少钱
先假想36台全买C型，需要36×2500＝90000元。实际预算比它多10500元。每把一台C型换成A型，多花3500元；换成B型，多花1500元。
因此3500a＋1500b＝10500，除以500，得到7a＋3b＝21。这也就是用金额方程减去数量方程的2500倍，消去了c。生活中的“替换”想法与方程消元完全一致。
由b≥0可知a只能取0、1、2、3。依次代入，b分别为7、14/3、7/3、0。中间两个不是整数，舍去；剩下a＝0、b＝7和a＝3、b＝0，再由总台数求c。
符合条件的购买方案恰好有两种
方案一：B型7台、C型29台。共36台，费用为7×4000＋29×2500＝100500元。
方案二：A型3台、C型33台。共36台，费用为3×6000＋33×2500＝100500元。两种方案都恰好包含两种型号，并且用完全部资金。
能不能只买A型和B型？哪种方案最好？
不能只买A、B型。因为其中较便宜的B型也要4000元，36台至少需要144000元，已经超过预算。这也从另一个角度说明，两种可行方案都必须包含C型。
题目只给价格，没有说明性能、用途与维护成本，因此不能断言哪种方案最好。我们能确定的是它们都满足数学条件，学校还需结合实际需求选择。
高频失分点｜数量不是整数，不能靠取整补救
把14/3台电脑四舍五入，会同时改变总台数和总金额。方程里的解还要接受实际条件检查：是不是整数，是否超库存，是否恰好两种型号，是否把预算全部用完。每一项都不能省略。
三个未知数、两个方程，也能继续研究
只看方程的个数，不能判断这道实际问题有没有确定答案。若允许未知数随意取小数，选择会很多；但这里的数量只能取有限范围内的整数，我们就能逐一筛选。第十一题再加上库存限制，最后剩下一组；第十二题还要求恰好两种型号，最后得到两组。要把文字条件和方程一起使用。
名师方法｜列关系、定范围、筛整数、验条件
先把总数量和总金额分别列式，再用相减或替换减少未知数。根据非负、库存等条件缩小范围，逐个检查整数值，最后代回原题核对。不重不漏地列方案，比碰巧猜中一个答案更重要。
当堂检测
1. 第11题为何不能让z取7？ 2. 第12题中，买36台C型后还差多少元才用完预算？ 3. 只验证总台数是36台，能证明购买方案可行吗？
想好再看：7枚1元硬币已经值7元，其余8枚还会增加金额；10500元；不能，还要检验金额、整数数量和型号种类。
内容依据：新人教版七年级下册数学第十章第119页，复习题10“拓广探索”第11、12题。
方程告诉我们数量关系，实际条件决定哪些答案能用。
