硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答取对数：

这是黎曼和：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，。证明：，使得。

证明设，，则。 泰勒展开：

若，则； 若，则，。 故存在。

题3（16分）积分证明

设在连续，对任意满足的连续可微函数，都有。求证：为常数。

证明令，取

则，且。 由条件：

连续，所以（常数）。

题4（16分）函数项级数

设。 (1) 证明级数在一致收敛； (2) 证明和函数在可导，且。

证明(1) ，收敛。 由Weierstrass M判别法，在一致收敛。

(2) 逐项求导后的级数：。 注意：这里不能直接说一致收敛。 原级数在逐点收敛；导数级数在任意闭区间上一致有界+单调，由Dirichlet判别法，在不含的闭区间一致收敛； 根据逐项求导定理：在任意闭区间内，因此在全体实数上成立。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入：

题6（16分）曲线积分

：从沿抛物线到。

解答

，积分与路径无关。 取折线路径。 第一段：，。 第二段：，。

题7（16分）曲面积分

：锥面，取下侧。

解答补面，取上侧。为闭合曲面内侧。高斯公式：

由对称性，。

计算上侧：

1995卷特点小结

1. 题1乘积型极限，取对数化为黎曼和；题2经典最小值泰勒不等式；
2. 题3变分思想积分证明；题4函数项级数一致收敛与逐项求导；
3. 题5二阶PDE变量替换；题6平面曲线积分与路径无关；题7锥面曲面积分补面高斯公式。

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