硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答黎曼和：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，。求证：，使得。

证明设，则。 泰勒展开：

若，则； 若，则，。 因此。

题3（16分）积分证明

设在连续，。证明：。

证明条件：对所有非负整数，，故对任意多项式，。 由魏尔斯特拉斯逼近定理：存在多项式序列，在一致收敛到。

连续，。

题4（16分）函数项级数

讨论级数在上的一致收敛性。

解答记。 逐点收敛：固定，指数衰减快于多项式，级数收敛。

求上确界：求导，在严格单调递减。

发散，M判别法不适用。 取点：

通项在上不能一致趋于0，故级数在不一致收敛。

补充：在任意闭区间上一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入原方程：

化简：

题6（16分）平面曲线积分

：从沿上半椭圆到。

解答

补直线段，构成逆时针闭曲线。格林公式：

上：，积分值。

题7（16分）曲面积分

：锥面，取外侧。

解答补面，取下侧。为闭合曲面内侧。高斯公式：

对称性：

取下侧：

1998卷特点小结

1. 题1三角函数黎曼和；题2经典最大值泰勒不等式；
2. 题3多项式系完备性，魏尔斯特拉斯逼近；
3. 题4函数项级数一致收敛判别，通项上确界；
4. 题5线性PDE变量替换；题6格林公式，椭圆面积；题7锥面补圆盘高斯公式。

凸函数的四道试题