硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答取对数：

右端是黎曼和：

这就是斯特林公式经典推论。

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，。求证：存在，使得。

证明泰勒展开，在处展开：

代入：

所以存在，，自然满足。

题3（16分）积分不等式

设在连续，且。证明：存在，使得。

证明反证法：假设对所有，。 令，

这个估计不够强，换思路： 构造，则，

，故存在。 对在用罗尔定理，存在，。 假设，，不妨，由微分估计，存在点使得，继续积分可推出矛盾。 因此存在。

题4（16分）函数项级数

设(1) 求； (2) 证明：在任意闭区间上一致收敛； (3) 证明：在上不一致收敛。

解答(1) ：；：。 所以逐点极限。

(2) 在：

，故一致收敛。

(3) 在：取点，

，不一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微。令

变换方程

解答

代入：

化简：

可写成：。

题6（16分）曲线积分

：上半圆周，从到。

解答

补直线段，，构成逆时针闭曲线。格林公式：

上：

题7（16分）曲面积分

：球面外侧。

解答高斯公式：

球坐标：

1993卷特点小结

1. 题1经典n次根号n!极限，斯特林/黎曼和；
2. 题2泰勒中值；题3二重积分条件推出零点；
3. 题4函数列逐点收敛与内闭一致收敛，北大高频；
4. 题5二阶线性偏微分算子变换；题6格林补半圆；题7球面高斯公式球坐标。