硕士研究生入学模拟考试题18 数学分析试题(回忆版)
- 2026-10-10 16:50:19
官方从未公开发布数学分析考研试卷，网上流传版本均为当年考生回忆整理版，没有官方原版，参考答案是后世数学爱好者推导，不是官方标答。**
该套题是国内数分考研经典真题，共9大题，涵盖极限、连续、微分、积分、级数、多元微积分。
硕士研究生入学考试 数学分析试题（回忆版）
题1（极限）
求极限：
解答放缩：
右边：左边：夹逼准则：
题2（一元微分）
设函数在二阶可导，，。证明：存在使得。
解答设，，极值点，故。 泰勒展开：
若： 若：因此，。
题3（积分不等式）
设在连续，。求证：存在，使得。
解答反证：。 令中点。
等号成立必须：几乎处处，且不变号。，则，但此函数不连续。矛盾。 故。
题4（级数）
设正项级数发散，。证明：级数发散，收敛。
解答1）证发散。
，固定，右边。柯西收敛准则不满足，发散。
2）证收敛：
部分和有上界：，正项级数部分和有界，收敛。
题5（多元微分）
设有连续二阶偏导数，作变换，变换后方程：，写出原变量下的偏微分方程。
解答
条件，代入验算：
方程：（调和方程，Laplace方程）
题6（含参积分）
设。 (1) 证明在连续； (2) 求； (3) 证明满足：。
解答(1) ，，收敛，由Weierstrass判别，含参积分在一致收敛，被积函数连续，故连续。
(2) 形式求导：。 对，，积分收敛，内闭一致收敛，可积分号下求导。
(3)
注：回忆版原题条件可能抄写略有出入，原版结论应为，此为经典含参积分题。
题7（曲线积分）
计算曲线积分：
为不过原点的分段光滑简单闭曲线，逆时针方向。分两种情况： (1) 不包围原点；(2) 包围原点。
解答令。，除原点外成立。
(1) 不包围原点：区域不含奇点，格林公式，。 (2) 包围原点：挖去小圆逆时针。
题8（一致收敛）
设在连续，且点态收敛到连续函数。若对任意，单调。证明：在上一致收敛于（Dini定理）。
解答令，连续，单调递减，。 反证：不一致收敛，则。 有界序列有收敛子列。，存在，。连续，邻域内。 当，，故充分大，，矛盾。 故一致收敛。
题9（多元积分）
计算三重积分：
是由曲面与平面围成区域。
解答柱坐标：，，。
备考提示
这套85北大数分风格特点：重证明、不等式、级数、含参积分，计算量中等，证明题区分度高； 回忆版存在少量文字抄写误差，遇到矛盾可以参考经典原题版本；
