2026秋季湖北某市,九年级数学期中检测试卷,附详细答案

2026秋季湖北某市8校联盟，九年级数学期中检测试卷，附详细答案。

编辑搜图

请点击输入图片描述（最多18字）

编辑搜图

请点击输入图片描述（最多18字）

编辑搜图

请点击输入图片描述（最多18字）

编辑搜图

请点击输入图片描述（最多18字）

以下是本试卷的详细答案

2026年秋期中质量监测卷九年级数学

参考答案（全卷24题，满分120分，考试时间120分钟）

一、选择题（每题3分，共30分）

答案：

二、填空题（每题3分，共15分）

11．6

12．y=(x−2026)²+6

13．1.25(1+x)²=1.8

14．y=−2/x

15．−3/10

三、解答题（共75分）

16．（6分）解方程：

（1）x²−4x+2=0

x²−4x+4=2，即 (x−2)²=2，

∴ x−2=±√2，x₁=2+√2，x₂=2−√2。

（2）2x²+3=7x

2x²−7x+3=0，(2x−1)(x−3)=0，

∴ x₁=1/2，x₂=3。

17．（6分）

（1）∵ 方程有实数根，∴ Δ=(2k+1)²−4(k²−1)=4k+5≥0，

∴ k 的取值范围是 k≥−5/4。

（2）由根与系数的关系，x₁+x₂=−(2k+1)，x₁x₂=k²−1。

x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=(2k+1)²−2(k²−1)=2k²+4k+3，

∴ 2k²+4k+3=33，即 k²+2k−15=0，(k−3)(k+5)=0，k=3 或 k=−5。

∵ k≥−5/4，∴ k=−5 不合题意，舍去，∴ k=3。

18．（7分）

（1）∵ 抛物线经过原点，∴ c=0。

又抛物线经过点 A(2,0)，∴ 4+2b=0，b=−2。

∴ 抛物线的解析式为 y=x²−2x，顶点坐标为 (1,−1)。

（2）设 B(x,y)。∵ S△OAB=1/2×OA×|y|=1/2×2×|y|=1，∴ |y|=1，即 y=1 或 y=−1。

当 y=1 时，x²−2x−1=0，x=1±√2，B(1+√2,1) 或 B(1−√2,1)；

当 y=−1 时，x²−2x+1=0，x=1，B(1,−1)。

∴ 点 B 的坐标为 (1+√2,1)、(1−√2,1)、(1,−1)。

19．（7分）

（1）设 m=k/d（k≠0）。把 d=5，m=40 代入，得 k=5×40=200，

∴ m 关于 d 的函数解析式为 m=200/d。

（2）当 m=25 时，25=200/d，∴ d=8。

答：当砝码质量为 25 克时，托盘 B 与点 O 的距离为 8 厘米。

20．（8分）

设 x 为每次邀请的好友人数。第一轮有 x 人参与，第二轮有 x² 人参与，连同本人共 1+x+x² 人。

由题意得 1+x+x²=111，即 x²+x−110=0，(x+11)(x−10)=0，

∴ x=10 或 x=−11（不合题意，舍去）。

答：x 的值为 10。

21．（8分）

（1）∵ 点 A(1,m) 在直线 y=k₁(x−1)+3 上，∴ m=3。

∵ 点 A(1,3) 在反比例函数 y=k₂/x 的图象上，∴ k₂=3（即 y=3/x）。

∵ 点 B(n,−3/2) 在 y=3/x 的图象上，∴ −3/2=3/n，n=−2。

∴ m=3，n=−2。

（2）把 B(−2,−3/2) 代入 y=k₁(x−1)+3，得 −3k₁+3=−3/2，k₁=3/2，

∴ 一次函数为 y=(3/2)x+(3/2)。由图象可知，两图象交点横坐标为 −2 和 1，

∴ 不等式 k₁(x−1)+3>k₂/x 的解集为 −2<x<0 或 x>1。

（3）证明：过 A(1,3) 作 x 轴的平行线 y=3、垂线 x=1，过 B(−2,−3/2) 作 x 轴的平行线 y=−3/2、垂线 x=−2。

其中 A(1,3)、B(−2,−3/2) 为已知交点，另两个交点为 C(1,−3/2)、D(−2,3)。

设直线 CD 的解析式为 y=mx+b，把 C(1,−3/2)、D(−2,3) 代入，得

m+b=−3/2，−2m+b=3，解得 m=−3/2，b=0。

∴ 直线 CD 的解析式为 y=−(3/2)x，它经过原点 O。

22．（10分）综合与实践

（1）A 区的车道由一条横向车道（40×x）和一条纵向车道（x×(22−x)）组成，

∴ 停车位（阴影）面积 = 40×22−[40x+x(22−x)]，

∴ 880−40x−22x+x²=544，即 x²−62x+336=0，(x−6)(x−56)=0，

∴ x=6 或 x=56（∵ x<22，∴ 舍去 x=56），x=6。

∵ 5.5≤6≤6.5，∴ 车道宽度符合标准。

（2）设每个车位月租金上涨 y 元，则租出车位数为 (50−y/5) 个。

由题意得 (200+y)(50−y/5)=10125，整理得 y²−50y+625=0，(y−25)²=0，

∴ y=25。

答：当每个车位的月租金上涨 25 元时，该区域停车场月租金收入为 10125 元。

（3）设月租金收入为 W 元，则

W=(200+y)(50−y/5)=−1/5 y²+10y+10000=−1/5 (y−25)²+10125（5≤y≤15）。

∵ −1/5<0，图象开口向下，对称轴为 y=25，而当 y<25 时 W 随 y 的增大而增大，

∴ 当 y=15 时，W 取得最大值，最大值为 (200+15)×(50−15/5)=215×47=10105（元）。

答：每个车位月租金上涨 15 元时，该区域月租金收入最大，最大值为 10105 元。

23．（11分）

（1）10。

（2）证明：以 B 为原点，BE 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，设 BC=t（0<t<8），

则 A(0,t)，D(t,t)，F(8,8−t)（由正方形 ABCD、CEFG 的边长分别为 t、8−t 得到）。

∵ B(0,0)，D(t,t)，∴ 直线 BD 的解析式为 y=x。

又线段 AF 的中点坐标为 (4,4)，满足 y=x，∴ 中点 (4,4) 在直线 BD 上，即 BD 与 AF 的交点 H 恰为 AF 的中点。

（3）证明：由（2）知 H(4,4)；正方形 ABCD 的中心 O 为 AC 的中点，O(t/2,t/2)；G(t,8−t)，C(t,0)，F(8,8−t)。

∵ kAC=(0−t)/(t−0)=−1，kHG=(8−t−4)/(t−4)=−1，∴ HG∥AC，即 HM∥CO。

∵ kCF=(8−t−0)/(8−t)=1，∴ AC⊥CF。

直线 HG：y=−x+8；直线 CF：y=x−t。联立解得 M((8+t)/2,(8−t)/2)，恰为 CF 的中点，∴ CM=1/2 CF。

又 H、O 分别是 AF、AC 的中点，∴ HO∥CF 且 HO=1/2 CF，∴ HO∥CM 且 HO=CM，

∴ 四边形 CMHO 是平行四边形。

∵ CO 在直线 AC 上，CM 在直线 CF 上，且 AC⊥CF，∴ ∠OCM=90°，

∴ 四边形 CMHO 是矩形。

（4）4。

24．（12分）

（1）设抛物线的解析式为 y=a(x+2)(x−6)=a(x²−4x−12)。

∵ 抛物线与 y 轴交于点 C(0,−4)，∴ −12a=−4，a=1/3。

∴ 抛物线的表达式为 y=1/3 x²−4/3 x−4。

（2）B(6,0)，C(0,−4)，∴ 直线 BC 的解析式为 y=2/3 x−4。

设 P(t,1/3 t²−4/3 t−4)（0<t<6），则 P 到直线 BC 的铅垂距离为

(2/3 t−4)−(1/3 t²−4/3 t−4)=2t−1/3 t²。

∴ S△BCP=1/2×|x_B−x_C|×(2t−1/3 t²)=3(2t−1/3 t²)=6t−t²。

又 S△BCO=1/2×4×6=12，

∴ S△BCP/S△BCO=(6t−t²)/12=−1/12 (t−3)²+3/4。

∴ 当 t=3 时，比值取得最大值 3/4，此时 y=1/3×9−4/3×3−4=−5，∴ P(3,−5)。

（3）抛物线的对称轴为 x=2，设 M(2,m)，则 N(2,m−2)。

∴ |AM|=√[(2+2)²+m²]=√(16+m²)，|PN|=√[(2−3)²+(m−2+5)²]=√[1+(m+3)²]。

要证 |AM|−|PN|≤3√2，即证 √(16+m²)≤3√2+√[1+(m+3)²]。

两边平方并整理，得 −(m+2)≤√2·√[(m+3)²+1]。

当 m≥−2 时，左端≤0，不等式显然成立；

当 m<−2 时，两端再平方，得 (m+2)²≤2[(m+3)²+1]，即 0≤(m+4)²，恒成立。

∴ |AM|−|PN|≤3√2，当 m=−4 时取等号，此时 M(2,−4)，N(2,−6)，

|AM|−|PN|=√32−√2=4√2−√2=3√2。

∴ |AM−NP| 的最大值为 3√2。

（4）C(0,−4)，B(6,0)，射线 CB 的方向为 (6,4)，其单位方向为 (3,2)/√13，

∴ 沿射线 CB 平移 √13 个单位，相当于平移向量 (3,2)。

原抛物线顶点为 (2,−16/3)，平移后为 (5,−10/3)，∴ y′：y=1/3 (x−5)²−10/3；点 H 是点 B 的对应点，H(9,2)。

在 Rt△OCB 中，tan∠OCB=OB/OC=6/4=3/2。

∵ ∠OCB=∠QHC+45°，∴ ∠QHC=∠OCB−45°，

∴ tan∠QHC=(3/2−1)/(1+3/2×1)=1/5。

HC 的斜率为 (−4−2)/(0−9)=2/3。设直线 HQ 的斜率为 k，则

|(k−2/3)/(1+(2/3)k)|=1/5，解得 k=1 或 k=7/17。

① 当 k=1 时，HQ：y=x−7，与 y′ 联立：

1/3 (x−5)²−10/3=x−7，整理得 x²−13x+36=0，(x−9)(x−4)=0，

∴ x=9（即点 H，舍去）或 x=4，此时 y=−3，∴ Q(4,−3)。

② 当 k=7/17 时，HQ：y−2=7/17 (x−9)，与 y′ 联立：

1/3 (x−5)²−10/3=2+7/17 (x−9)，整理得 17x²−191x+342=0，

∴ x=9（即点 H，舍去）或 x=38/17，此时 y=−227/289，∴ Q(38/17,−227/289)。

∴ 所有符合条件的点 Q 的坐标为 (4,−3)、(38/17,−227/289)。