第四章《指数函数与对数函数》章末复习小结课教学设计（3课时）

一、基本信息

• • 教材：普通高中教科书·数学（A版）必修第一册，第四章指数函数与对数函数，的小结与复习参考题4
• • 课型：章末复习小结课（方法整合+综合应用+数学建模）
• • 课时：共3课时
• • 课标依据：《普通高中数学课程标准（2017年版）》
• • 核心定位：本课不是知识点的简单重复刷题，是由厚到薄结构化梳理—由薄到厚变式深化—走向真实情境数学建模的三阶复习，落实函数研究的一般观念，发展数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模五大核心素养。

整体规划说明：第1课时：梳理知识，构建网络。依托教材“回顾与思考”9个本原问题，自主建构知识结构图，提炼研究一类函数的通用路径，打通“指数—对数—指数函数—对数函数”内在逻辑，落实反函数本质理解。第2课时：应用巩固，深化理解。聚焦运算易错点、函数图象性质、零点与方程转化，以教材复习参考题为载体，设置题组、追问变式，强化分类讨论、数形结合、函数与方程思想，规范解题通法。第3课时：拓广探索、函数与数学建模。辨析线性、指数、对数三类函数增长差异，依托教材真实情境案例完整经历建模流程，理解模型适用边界，学会借助信息技术辅助数据分析、拟合与检验。

二、内容和内容解析

1. 教学内容

本章复习整合五大板块：①指数概念从整数指数幂到实数指数幂的拓展、实数指数幂运算性质；②指数函数的背景、概念、图象与性质；③对数的引入、指数式与对数式互化、对数运算性质、换底公式；④对数函数的概念、图象性质，指数函数与对数函数互为反函数；⑤函数应用：函数零点与方程解的关系、零点存在定理、二分法求近似解；不同函数增长差异、函数模型选择与数学建模。

2. 内容解析

本章是第三章函数的概念与性质、幂函数研究经验的延续，严格遵循“背景—概念—图象和性质—应用”这一研究基本初等函数的通用范式，这是贯穿整章、可以迁移到后续三角函数等内容的一般观念主线。数与运算层面：指数运算与对数运算统一于 ，本质是底数、指数（对数）、幂（真数）三者的互相转化，化归思想是运算的内核；运算性质推广的合理性在于：在拓展指数范围时，保留原有运算律，保证体系自洽。函数层面：指数函数刻画指数增长/衰减（指数爆炸），对数函数刻画先快后慢的对数增长，二者互为反函数，定义域值域互换、定点横纵坐标互换、图象关于  对称，是“逆向对应关系”的典型载体，是学生理解反函数思想的第一次系统机会。应用分为两层：数学内部应用——把方程问题转化为函数零点问题，借助零点存在定理、二分法实现方程近似求解，渗透逼近思想、数形结合、函数与方程思想；外部实际应用——依托散点图识别增长模式，选择线性、指数、对数模型拟合数据，并且必须检验模型合理性，认识模型的条件性、局限性，落实数学建模素养。

3. 上下位知识关联

• • 承上：承接函数的三要素、单调性、奇偶性等一般性质，幂函数的研究思路；学生已经掌握描点作图、简单函数性质分析。
• • 单元主线：把新授课碎片化知识点串联成结构化网络，破解学生点状记忆、概念混淆（指数函数vs幂函数，与性质混淆）的痛点。
• • 启下：指数、对数运算，指数对数函数，增长差异，为等比数列、概率统计、导数模块埋下伏笔；“增长快慢”的直观感知，为导数精确刻画变化率铺垫认知基础。

三、目标与目标解析（总目标，分课时分层落地）

教学总目标

1. 1. 知识目标：自主梳理全章逻辑脉络，独立绘制知识结构图；准确复述实数指数幂、对数的运算性质与换底公式；理解指数函数、对数函数概念、图象、性质以及互为反函数的内在关联；掌握零点存在定理条件、二分法步骤；区分直线上升、对数增长、指数爆炸三类增长特征，说出建模完整流程。
2. 2. 技能目标：熟练完成指数、对数化简求值、指对互化；灵活利用单调性、中间值（0,1）比较大小；会对含底数参数问题分类讨论；能将方程解的问题转化为零点、图象交点问题，用二分法求近似解；能根据数据散点特征选择合适函数模型、求参数、检验模型。
3. 3. 素养目标：在知识结构化梳理中发展数学抽象；在指对运算、含参讨论中发展数学运算；在反函数辨析、零点判断、增长差异对比中发展逻辑推理与直观想象；在真实问题建模全过程中发展数学建模；持续体会背景—概念—图象性质—应用研究一类函数的通用方法。

目标分层达成标志

• • 第1课时达成标志：能独立画出本章知识结构图；清晰说出指数概念拓展路径；默写运算性质、指对互化式；完成指数函数、对数函数性质对照表，准确解释互为反函数四条内在关联；能复述研究函数的一般流程。
• • 第2课时达成标志：规范完成指对综合运算，规避典型运算误区；能自主选择“同底单调、同指幂函数、中间值传递”策略比较大小；含底数参数对数不等式主动分类讨论；可以用“单调性定唯一、端点异号定存在”判断零点区间；能借助数形结合分析  与函数图象交点个数。
• • 第3课时达成标志：能借助信息技术绘制散点图，根据增长快慢选择候选模型；独立完成“实际问题→建模→求解→检验→回归实际解释”完整建模；能说出指数衰减模型、冷却模型等适用场景，理解模型有适用范围，检验不可省略。

四、教学重难点

教学重点

1. 1. 指数幂、对数的运算性质与灵活转化；
2. 2. 指数函数、对数函数图象、性质，互为反函数的关系；
3. 3. 零点存在定理、二分法，函数与方程转化；
4. 4. 线性、指数、对数增长差异，函数模型选择与建模步骤。

教学难点

1. 1. 指数从整数拓展到实数的本质（在保留运算律前提下的合理推广）；
2. 2. 对数逆向思维、反函数内在本质理解，不只是记忆图象对称结论；
3. 3. 数形结合的自觉运用：把方程、不等式、参数范围转化为图象交点问题；
4. 4. 真实情境中识别增长类型，建立模型、检验模型、理解模型局限性。

五、教学问题诊断分析

1. 认知基础

学生已经完成本章新授课，会基础指对运算，能说出指数、对数函数基本性质，会画简单图象；经历过幂函数、函数一般性质的学习，对“作图—观察—归纳性质”有感性经验，但缺少主动提炼一般研究方法的意识。

2. 潜在学习困难

（1）知识碎片化：知识点孤立记忆，无法自主建立“指数运算↔对数运算↔两个函数↔应用”逻辑链条；（2）概念易混淆：指数函数和幂函数混淆；底数 、 单调性记反；分不清定义域、真数大于0等前提条件；对数运算性质常和整式加法、乘法混淆（）；（3）思维固化：比较大小、零点问题习惯于代数硬算，不会主动用图象直观辅助；含参数问题缺少分类讨论意识；（4）建模障碍：看到实际数据不知道怎么选型，只追求算出解析式，忽略检验、忽略模型适用范围，不理解“指数爆炸、对数增长”只是特定区间下的规律。

3. 整体突破策略

1. 1. 任务前置：课前布置自主研学任务，依托教材“回顾与思考”驱动学生先梳理、先绘图，课上展示学情，精准针对学生认知断层教学；
2. 2. 问题串引领：以教材本原问题为核心，层层追问，不只“记住结论”，追问“为什么、怎么想到、还有什么方法”；
3. 3. 结构性工具支撑：知识结构图、性质对照表、建模流程图，把隐性思维显性化；
4. 4. 数形结合+信息技术赋能：动态演示底数  变化对图象的影响，绘制散点图、拟合曲线，直观突破增长差异、反函数难点；
5. 5. 题组变式，立足教材：所有典例、练习、作业均取自复习参考题，横向变式、纵向追问，做一题通一类，不盲目加超纲内容；
6. 6. 双线贯穿：明线——知识、例题、练习；暗线：研究函数的一般路径、化归、数形结合、函数与方程、模型思想。

六、分课时教学过程设计

第1课时 梳理知识，构建网络

教学主题：自主建构知识体系，提炼研究函数的一般观念核心载体：教材章末“回顾与思考”

环节一：自主研学，温故引新（5min）

【设计意图】前置任务驱动学生通读小结，初步形成知识轮廓；课堂展示，诊断学情。课前研学任务（下发给学生）：

1. 1. 本章研究刻画哪些变化现象？
2. 2. 尝试手绘本章知识结构图；
3. 3. 梳理指数概念拓展流程，写出指数、对数核心公式；
4. 4. 对照教材思考：指数函数、对数函数是怎么研究出来的？二者有什么特殊联系？

课堂师生活动：教师展示章首情境：游客增长、碳14衰减测年，抛出主问题：本章我们学习了指数、对数、两类函数，学完一章，我们该怎么把这些内容串起来？学生小组交流预习成果，选取2–3份结构图投影展示，互评优缺点（很多学生容易遗漏零点、二分法、增长差异板块，教师捕捉这个生成点）。

环节二：问题驱动，共建知识网络（20min）

问题1：指数概念是怎样一步步拓展到实数指数幂？拓展的原则是什么？预设：正整数指数幂→整数指数幂→分数指数幂→无理数指数幂→实数指数幂；教师追问：为什么要这样拓展？拓展后运算性质为什么不变？小结：拓展原则——兼容原有运算，保持运算律成立，保证定义合理，无理数指数依靠有理数逼近，实现指数函数在全体实数上连续。板书：指数运算核心公式：，，（，，）

问题2：对数是怎么引入的？指对互化关系是什么？各个字母有什么限制？预设：已知底数、幂，求指数；（，，）配套梳理对数三条运算性质、换底公式 ，强调真数大于0、底数范围两个易错前提。

问题3：完成指数函数、对数函数性质对照表（学生填表，师生共同校对）

追问（突破难点：反函数）：对照表格，你发现两个函数有什么关联？图象上有什么特征？本质原因是什么？师生归纳四点：定义域值域互换；定点横纵坐标互换；单调性分类一致；图象关于直线  对称；本质：自变量和函数值对应关系反转，互为反函数。

问题4：本章函数应用分为哪两块？师生梳理：①数学内部：零点、零点存在定理、二分法求近似解；②实际应用：三类函数增长差异、建立函数模型解决问题。

问题5（提炼一般观念，本课升华）：回顾指数函数、对数函数的研究全过程，说一说，以后我们研究一类新函数，可以遵循怎样的路径？统一范式：现实背景抽象概念→符号表示→绘制图象→观察归纳性质（定点、单调、对称性）→应用；研究方法：特殊到一般、数形结合、类比。

环节三：典例辨析，初步运用结构（12min）

【设计意图】依托结构，落实比较大小的基础策略，示范方法。例题：比较大小，并说明用到的函数性质（1），，；（2），，规范分析示范：（1）指数相同，底数不同，构造幂函数 ，在  单调递增，得 ；（2）同底对数利用单调性；不同底借助中间值0、1传递；。方法归纳：比较大小三通道：同底看单调；同指构造幂函数；异底异指找中间值（0,1）。

环节四：课堂练习（5min）

教材复习参考题4复习巩固基础题：指数对数化简、指对互化、判断对数运算性质正误，重点检查前提条件。

环节五：课堂小结+作业（3min）

小结三层：知识（结构图）；方法（研究函数通用路径、对照表梳理）；思想（化归、类比、数形结合）。教师点睛：第一课时完成“由厚到薄”，下一节课，我们带着这个框架，进行变式深化，由薄到厚。作业：

1. 1. 完善本章知识结构图、性质对照表；
2. 2. 完成复习参考题“复习巩固”基础运算题；
3. 3. 自主整理自己平时运算、性质理解的易错点，下节课分享。

第2课时 应用巩固，深化理解

教学主题：运算、图象性质、零点与方程综合；突破易错点、落实通法、分类讨论、数形结合核心载体：复习参考题综合运用、章学业水平试题

环节一：复盘引入，聚焦易错（4min）

教师提问：上节课搭建了知识框架，大家课前整理的易错点集中在哪里？预设学生反馈：真数大于0遗忘、对数运算性质混用、底数含参数不会分类、零点当成点、解对数不等式忘记定义域。教师明确本课主线：四类核心题型——运算类、性质（比较大小、解不等式）、零点与方程、参数范围；核心抓手：用函数眼光看式子、方程、不等式。

环节二：梳理题型通法主线（6min）

师生共同板书四类问题通法：

1. 1. 运算类（指数、对数）：核心——互化、化同底、凑特殊结构；时刻检验底数、真数范围；
2. 2. 性质类（比大小、解不等式）：核心——构造函数，单调性；底数含参数，必须对 、 分类；
3. 3. 零点方程类：核心——方程  的零点；单调定唯一，端点试值定存在；
4. 4. 参数交点类：核心——数形转化， 转化为水平线  与图象交点个数，临界点单独讨论。

环节三：题组精讲，变式探究（24min）

题组一：运算类（教材原题改编）

例1 计算：例2 计算：例3 已知 ，用  表示相关对数。分析要点：带分数化为假分数，统一底数；对数利用  凑完全平方；体会对数运算降阶（乘变加、乘方变乘法）。变式追问：每一步变形，你需要先确认什么条件？

题组二：含参性质、不等式、比较大小

例4 已知，讨论 ，求范围。示范：统一底数 ；分两类：递增，递减；得到 。**变式**：比较  和 ；与，强化0、1中间值策略。

题组三：零点、二分法、图象交点（本课重难点）

例5 方程 ，判断零点所在区间；思路：设 ，在  上单调递增；试端点函数值，利用零点存在定理确定区间。例6（教材分段函数）（）；（）。求方程  的解的个数为1、2、3时，的取值范围。教学处理：先让学生自主画出分段图象；分区间分析值域、单调性；重点辨析临界值的交点个数，渗透数形结合、临界讨论。例7 二分法求近似解：，精确度0.1，规范二分步骤：定区间→取中点→判符号→缩小区间→达到精度停止。

二分法思想点睛：不是求出精确根，是无限逼近，是算法思想。

补充拓展：指数型函数恒等式证明

已知 ，，证明平方差、倍值恒等式，训练指数式代数变形能力。

环节四：课堂限时练习（7min）

选用教材综合运用题：集合交集、比较函数值、多个函数零点大小比较，学生独立完成，抽样讲评。

环节五：小结与作业（4min）

小结：四类题型通法；核心思想：转化化归、分类讨论、数形结合、函数方程。作业：复习参考题复习巩固、综合运用选择填空；整理零点、含参对数错题。

第3课时 拓广探索、函数与数学建模

教学主题：三类函数增长差异；完整建模流程；模型检验与修正；综合拓展函数性质核心载体：复习参考题综合运用、拓广探索建模题

环节一：情境引入，辨析增长差异（6min）

教师提问：同样是递增函数，线性函数、指数函数、对数函数，增长节奏一样吗？什么叫直线上升、对数增长、指数爆炸？学生活动：列表取值 ，，；借助几何画板同步画图观察。师生总结：

• • 线性函数：匀速增长，增量恒定；
• • 指数函数（）：增长越来越快，指数爆炸，长期来看会超越线性、对数；
• • 对数函数（）：前期快，后期增长越来越平缓。

追问：能不能仅凭图象就确定模型？为什么建模一定要检验？举例：马尔萨斯人口模型，在短期拟合很好，长期预测偏离现实——模型有适用条件，检验是建模不可缺少一环。

环节二：建模流程结构化（5min）

板书建模闭环结构图：

实际问题→提取变量、分析增长规律→绘制散点图→选择候选模型→待定系数求参数→代入检验（对比数据残差）→模型修正→回归现实解释、给出适用范围

环节三：建模典例精讲（22min）

全部选用教材原题：例8 锶90衰减：年衰减率2.47%，求800年后剩余比例（指数衰减模型 ）例9 废气净化 ：5h消除10%污染物，求10h剩余比例、半衰期；例10 牛顿冷却模型：，已知初始温度、1min后温度，求参数，预测冷却到指定温度时间。教学统一范式：①审题：谁是自变量、谁是因变量，是增长还是衰减；②选型：识别是线性还是指数；③代数据求参数，优先整体代换简化运算（如 ，直接得到）；④检验：回代数据，看预测值和真实值偏差；⑤解释：说明这个模型适合的时间范围，不能无限外推。

环节四：拓广探索综合小题（7min）

1. 1. ，，求  定义域、奇偶性；
2. 2. ，探究单调性，寻找使得函数为奇函数；
3. 3. 分段图象写解析式、自编实际背景，打通解析式、图象、现实意义三者转化。

环节五：三课时整体收官小结（3min）

整体复盘三阶段复习：梳理网络→深化题型→建模应用；再次回扣总范式：背景—概念—图象性质—应用，点明这套研究范式是高中函数学习的底层方法，迁移到后续所有函数。核心素养升华：抽象（提炼函数模型）、运算（参数求解）、推理（单调性、零点）、直观（图象散点）、建模（解决真实问题）。

作业：复习参考题拓广探索全部习题；自主选取一组数据（温度、身高体重等），利用信息技术完成一份完整建模报告，严格按照建模五步书写。

七、目标检测设计（分层，对应三课时目标）

1. 1. （第1课时，数学抽象、逻辑推理）简述指数由整数拓展到实数的过程，说明推广后运算性质保持不变的意义。

参考答案：整数→有理数（分数指数与根式互化）→无理数指数（有理数逼近）；推广保持运算律，保证指数函数在  上连续，运算体系自洽合理。

1. 2. （第2课时，直观想象、数学运算）填空：，，说明理由。
2. 3. （第2课时，直观想象、逻辑推理）分段函数  同上，写出  有2个实数解时的取值范围。

参考答案： 或  或 

1. 4. （第3课时，数学建模、运算）废气模型：5h消除10%污染物，求10h剩余比例，减半时间。

参考答案：剩余81%；半衰期约33h。

八、板书设计（分课时独立板书，统一主线）

第1课时板书

第四章 指数函数与对数函数 复习（一）构建网络

【主线】背景—概念—图象性质—应用指数拓展：整数→有理→实数｜运算性质对数：｜运算性质、换底公式对照表： 与 内在关联：互为反函数，关于  对称应用分支：零点二分法；增长差异、建模方法：特殊到一般、类比、数形结合

第2课时板书

第四章 指数函数与对数函数 复习（二）综合应用

四类通法运算：互化、化同底，检查定义域性质比大小：0/1中间值、单调；含参必分类零点方程：单调定唯一，端点异号定存在交点参数： ⇔ 水平线与图象交点思想：分类讨论、函数与方程、数形结合例题：对数不等式、零点区间、分段交点

第3课时板书

第四章 指数函数与对数函数 复习（三）数学建模

三类增长：直线匀速｜对数增长（先快后慢）｜指数爆炸建模流程：实际问题→散点图→选模型→求参→检验→结论指数衰减模型：，冷却模型：提醒：模型有适用范围，检验必不可少

九、教学实施说明（整合设计的理念说明）

1. 1. 本设计深度融合两份原稿优势：保留第一版清晰三阶复习结构、双线（运算转化线+函数研究路径线）；吸收第二版紧扣教材“回顾与思考”本原问题、重视概念拓展本质、建模案例全部取自教材的特点，规避脱离教材、超前引入导数等内容；
2. 2. 素养不是贴标签：所有素养落实嵌入活动——结构图是数学抽象，含参讨论是逻辑推理，运算题组是数学运算，图象、散点图是直观想象，完整建模任务是数学建模；
3. 3. 弹性适配：例题、练习全部来自教材复习参考题，教师可根据本班学情删减变式，基础班优先落实运算和性质，提升班可以增加建模报告、开放性探究；
4. 4. 评价一体化：课前预习诊断、课堂追问互评、当堂练习、课后作业、单元检测，全部对标课时目标，实现教—学—评一致性。