——如阅读体验不佳，可转为横屏阅读；如微信无法横屏，可尝试文末方法。
（一）基本概念
（1）随机变量：设随机试验的样本空间为
，
是定义在样本空间S上的实值单值函数，称
为随机变量（随机变量是因变量）。
说明：
（a）随机变量是样本空间（点）的函数（随机变量是因变量。因为函数的自变量——随机事件（即样本空间的子集）是随机的，故因变量——随机变量是随机的，但随机变量是确定的函数），同时又是概率P的定义域（随机变量是自变量）；
（b）随机变量中“随机”二字说明，每次试验中变量X的取值具有随机性；（因为自变量e具有随机性，所以因变量X具有随机性）
（c）单值函数说明，不同的随机变量值对应的样本点中不会有公共样本点；（反证法）
（d）随机变量的不同取值对应的样本点集构成样本空间的一个划分；
（e）引入随机变量是为了将样本点数量化。
（2）若L是一个实数集合，将X在L上取值写成
，
表示事件
，即B是由S中使得
的所有样本点e所组成的事件。此时有
。
（3）分位点：若
，
，则称
为概率分布上的
分位点。
（4）随机变量的分布函数：设X是一个随机变量，x是任意实数，称函数
，
，为X的分布函数。
说明：
（a）引入分布函数的原因是，虽然对于离散型随机变量，可以用分布律全面地描述它，但为了从数学上能统一地对随机变量进行研究，因而对离散型随机变量和非离散型随机变量统一地定义了分布函数。当提到随机变量X的“概率分布”时，指的是它的分布函数；或者当X是离散型随机变量时，指的是它的分布律，当X是连续型随机变量时，指的是它的概率密度。
（b）若已知随机变量X的分布函数，就知道X落在任一区间
上的概率，从这个意义上来说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。
（c）分布函数是一个普通的函数，通过它，可以使用数学分析的方法来研究随机变量。
（d）若将随机变量看做数轴上随机点的坐标，则分布函数F(x)在x处的值表示X落在区间
上的概率。
（e）充要条件：
①定义域和值域：
，
，
，
。
②单调非减：
，
。
③右连续：
。（对于连续型随机变量，其分布函数不仅右连续，而且左连续）
性质①②③同时满足即为F(x)是分布函数的充要条件。
（f）分布函数的微分是概率，导数是概率密度。
（5）随机变量的分类：离散型随机变量、非离散型随机变量（包括连续型随机变量和其他类型）
（二）离散型随机变量
（1）定义
若随机变量所有可能取到的值是有限个或可数无限个，则称该随机变量为离散型随机变量。不是这种情况的称为非离散型随机变量。
（2）分布律
设离散型随机变量X的所有取值为
，X取各个可能值的概率，即事件
的概率，为
。称
为离散型随机变量的分布律。（称为分布律的原因，可以想象成概率1以一定的规律分布在各个可能的值上）
充要条件：
（a）
；
（b）
。（依据是每个样本点都有象，且唯一）
性质（a）和（b）同时满足即为
是分布律的充要条件。
（3）分布函数
（a）
。
（b）随机变量有几个取值，其分布函数便有几次跳跃。
（4）典型分布
（a）两点分布（0-1分布）（样例：一次射击是否命中）
设随机变量只取0和1两个值，其分布律是
，则称随机变量X服从以p为参数的两点分布，记为X~(0-1)。
（b）二项分布（样例：n次射击命中k次）
设试验E只有两个可能的结果：A和
，称E为伯努利试验。
设
，则
。将E独立重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。“重复”指在每次试验中
保持不变；“独立”指各次试验的结果互不影响，即
，
为第i次试验的结果。
若X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则
，称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X~
。
（c）几何分布（样例：命中1次所需的射击次数）
若X表示事件A首次发生时所需进行的伯努利试验的次数，则
，称随机变量X服从参数为p的几何分布，记为X~
。
几何分布的无记忆性：若X服从几何分布，则对任意的
，有
。具有无记忆性是几何分布有广泛应用的重要原因（如可靠性理论和排队论）。
（d）泊松分布
设随机变量X的所有可能取值为0,1,2,…，且取各个值的概率为
，
，其中
为常数，称X服从参数为
的泊松分布，记为X~
。
泊松定理：设
为常数，n为任意正整数，且
，则对任一固定的非负整数k，有
。（条件
表明当n很大，
必定很小（因为
为常数），该定理表明当n很大，p很小（
）时，有近似式
，其中
，即参数为n，p的二项分布的概率值可以用参数为
的泊松分布的概率值近似）
文章合集：
点击下方公众号主页，关注以阅读更多文章
——可选择“【右上角···】→【在浏览器中打开】”进行横屏阅读。
