不等式试卷讲评
- 2026-10-04 06:22:46
1. 化成标准形式：一边化为 0，另一边是关于 x 的二次式；
2. 定两根：因式分解或求根公式，看不出能否分解时先算判别式 Δ；
3. 比大小：两根中含参数时，唯一的分类点就是「参数与谁比大小」；
4. 按开口方向与两根大小写出解集，参数取临界值时单独代入检验。
已知函数 f(x) = x2 − (a − 2)x + 4。
（1）求关于 x 的不等式 f(x) ≥ 4 + 2a 的解集；
（2）若对任意的 x ∈ [1, 6]，f(x) − 2a + 14 ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
（1）解答
原不等式即 x2 − (a − 2)x − 2a ≥ 0，因式分解得 (x − a)(x + 2) ≥ 0，两根为 x = a 与 x = −2，分类点为 a 与 −2 的大小：
1. 当 a > −2 时，解集为 {x | x ≤ −2} ∪ {x | x ≥ a}；
2. 当 a = −2 时，不等式为 (x + 2)2 ≥ 0，解集为 ℝ；
3. 当 a < −2 时，解集为 {x | x ≤ a} ∪ {x | x ≥ −2}。
（2）解答
f(x) − 2a + 14 ≥ 0 即 x2 − (a − 2)x − 2a + 18 ≥ 0，整理为 x2 + 2x + 18 ≥ a(x + 2)。
由 x ∈ [1, 6] 知 x + 2 > 0，分离参数得 a ≤ x2+2x+18x+2，故 a ≤ (x2+2x+18x+2)min。
拆项（分子配出 x + 2）：
当且仅当 x + 2 = 18x+2，即 x + 2 = 3√2，即 x = 3√2 − 2 ∈ [1, 6] 时取等号。
结论：a ≤ 6√2 − 2。
1. 结构特征：「二次式 ÷ 一次式」往往可以化成 t + kt 型的基本不等式结构；
2. 换元：令分母为整体 t（本例 t = x + 2），分子用 t 表示后约分；
3. 本例中 x2 + 2x + 18 = t2 − 2t + 18，故 y = t2−2t+18t = t + 18t − 2 ≥ 6√2 − 2，与拆项法结果一致。
1. 优先讨论二次项系数为零的情形（此时是一次不等式，不讨论就出错）；
2. 二次项系数不为零时，开口方向由系数正负决定；
3. 用判别式定节点：Δ > 0 的参数范围就是天然的分界；
4. 数轴上「四个区间 + 三个节点 = 七种情形」，按数轴顺序逐一写解集。
解关于 x 的不等式 kx2 + 6x + k − 8 < 0。
当 k = 0 时，不等式为 6x − 8 < 0，解集为 {x | x < 43}。
当 k ≠ 0 时，Δ = 36 − 4k(k − 8) = −4(k − 9)(k + 1)，故 Δ > 0 ⟺ −1 < k < 9。
两根为 x1 = −3+√((9−k)(k+1))k，x2 = −3−√((9−k)(k+1))k。按参数轴分七种情形：
1. 当 k < −1 时，开口向下且 Δ < 0，图像恒在 x 轴下方，解集为 ℝ；
2. 当 −1 < k < 0 时，开口向下且 Δ > 0，解集为 {x | x < x1} ∪ {x | x > x2}（此时两根大小反转，x2 > x1）；
3. 当 0 < k < 9 时，开口向上且 Δ > 0，解集为 {x | x2 < x < x1}；
4. 当 k = −1 时，不等式为 −x2 + 6x − 9 < 0，即 (x − 3)2 > 0，解集为 {x | x ≠ 3}；
5. 当 k = 9 时，不等式为 9x2 + 6x + 1 < 0，即 (3x + 1)2 < 0，解集为 ∅；
6. 当 k > 9 时，开口向上且 Δ < 0，图像恒在 x 轴上方，解集为 ∅；
7. 情形 5 与 6 可合并：当 k ≥ 9 时，解集为 ∅。
1. 分式不等式第一步：移项通分，化成 f(x)g(x) > 0 的标准形式，不要去分母；
2. 因式分解后用串根法（数轴穿根）写解集；
3. 串根法的前提：x 的最高次项系数必须化为正的，否则起穿方向就错了；
4. 系数为参数时，两边同乘参数要讨论正负，乘负数要变号；
5. 偶次重根「穿而不过」（奇穿偶回）。
解关于 x 的不等式 ax2+ax−4x−1 > 2。
移项通分：
即 (ax − 2)(x + 1)(x − 1) > 0，三个根分别为 x1 = 2a（a ≠ 0）、x2 = 1、x3 = −1。
分类点：a 的正负性，以及 2a 与 1、−1 的大小，临界值为 a = 2、a = −2、a = 0，共七种情形。
当 a > 0 时，两边除以 a 化系数为正，解 (x − 2a)(x + 1)(x − 1) > 0：
1. 当 a > 2 时，−1 < 2a < 1，解集为 {x | −1 < x < 2a} ∪ {x | x > 1}；
2. 当 a = 2 时，原式即 2(x − 1)2(x + 1) > 0，解集为 {x | x > −1, x ≠ 1}；
3. 当 0 < a < 2 时，2a > 1，解集为 {x | −1 < x < 1} ∪ {x | x > 2a}。
当 a < 0 时，两边除以 a 变号，解 (x − 2a)(x + 1)(x − 1) < 0：
1. 当 −2 < a < 0 时，2a < −1，解集为 {x | x < 2a} ∪ {x | −1 < x < 1}；
2. 当 a = −2 时，原式即 −2(x + 1)2(x − 1) > 0，即 (x + 1)2(x − 1) < 0，解集为 {x | x < 1, x ≠ −1}；
3. 当 a < −2 时，−1 < 2a < 1，解集为 {x | x < −1} ∪ {x | 2a < x < 1}。
当 a = 0 时，原式即 −2(x + 1)(x − 1) > 0，解集为 {x | −1 < x < 1}。
1. 已知 x + y = 1 这类条件时，可以把分子中的常数用 x + y 代换，或给分式乘一个「1」（即 x + y）；
2. 代换后分子分母同次（齐次化），再除以其中一个字母，化为「和式 ÷ 乘积式」的结构；
3. 最后用基本不等式求最值，并检验取等条件是否与已知条件联立可解。
已知 x，y 为正实数，且 x + y = 1，则 3x+2y−1xy 的最小值为（ ）
A. 4√3 + 7 B. 2√2 + 3 C. 4√2 D. 6
解答
分子中的 −1 用 −(x + y) 代换：
再乘「1」（即 x + y）化为齐次式：
取等条件：2xy = yx，即 y2 = 2x2，与 x + y = 1 联立解得 x = √2 − 1，y = 2 − √2，均为正实数，取等可行。
故选 B（最小值为 2√2 + 3）。
1. 一正：a、b 必须为正数，否则 a + b ≥ 2√(ab) 根本不成立（如 a = b = −1 时 −2 ≥ 2 不成立）；
2. 二定： 积或和必须为定值，才能得到最值；
3. 三相等： 取等条件必须验证，且取等点要落在题目给定的定义域内。
下列选项中正确的有（ ）
A. 若正实数 x，y 满足 x + 2y = 1，则 2x + 1y ≥ 8；
B. 当 x ≥ 2 时，x + 4x+1 的最小值为 3；
C. 不等式 a + b ≥ 2√(ab) 恒成立；
D. 存在实数 a，使得不等式 a + 1a ≤ 2 成立。
A 正确： 乘「1」展开，(1y)(x + 2y) = 4 + 4yx + xy ≥ 4 + 2√4 = 8，取等条件 x = 2y 与 x + 2y = 1 联立有正数解，成立。
B 错误：x + 4x+1 = (x + 1) + 4x+1 − 1 ≥ 2√4 − 1 = 3，但取等需要 x + 1 = 4x+1，即 x = 1，不在定义域 x ≥ 2 内，等号取不到，3 不是最小值。
C 错误： 缺「正数」条件。a、b 同为负数时不成立，如 a = b = −1 时 a + b = −2 < 2 = 2√(ab)。
D 正确： 这是存在性命题，取 a = −1 时 a + 1a = −2 ≤ 2 成立（取 a = 1 时 a + 1a = 2 ≤ 2 也成立）。
故选 AD。
已知命题 p：∀x ∈ ℝ，不等式 x2 + 4x − 1 > m 恒成立，则实数 m 的取值范围是____。
方法一（最值法）：m < x2 + 4x − 1 对 x ∈ ℝ 恒成立 ⟺ m < (x2 + 4x − 1)min。
配方得 x2 + 4x − 1 = (x + 2)2 − 5 ≥ −5，最小值 −5 在 x = −2 处取得到，故 m < −5。
方法二（判别式法）：x2 + 4x − 1 > m 恒成立 ⟺ (x + 2)2 > m + 5 恒成立。因 (x + 2)2 的最小值 0 取得到，故 m + 5 < 0，即 m < −5。
结论：m < −5。
1. 分清谁是变量、谁是参数：本例中 x 是变量，a、m 都是参数（双参数）；
2. 先处理「对任意 x 恒成立」：二次不等式对一切 x 成立 ⟺ Δ ≤ 0，这一步把 x 消掉；
3. 再处理「存在 a > 0 使成立」：分离出 m，问题变成 m ≥ g(a) 有解 ⟺ m ≥ g(a) 的最小值；
4. 「任意」对应最值，「存在」也对应最值，但方向要按命题逐字翻译。
若对任意 x ∈ ℝ，存在 a > 0，使得 x2 + ax − a2 ≥ x − am + 1 成立，则实数 m 的取值范围为____。
整理为关于 x 的不等式：
由判别式条件：
展开整理：5a2 − 2a + 5 − 4am ≤ 0。
由 a > 0，分离参数（两边除以 4a）：
「存在 a > 0 使上式成立」⟺ m ≥ (5a4 + 54a − 12)min。
由基本不等式：5a4 + 54a ≥ 2√(2516) = 52，当 a = 1 时取等。
故最小值为 52 − 12 = 2。
结论：m ≥ 2。
