长郡中学2027届高三月考试卷(二)数学 第13题 圆与直线关系 填空题 巧解(圆的切线方程 + 对称性 秒解)

题目

已知圆  与直线  交于  两点， 为坐标原点，则  ______。

考点分析

1. 点到直线距离公式；
2. 圆的弦长公式；
3. 三角形面积公式；
4. 直线系  的几何意义：圆心在原点、半径为  的圆的切线方程。

解法 1：常规通用解法（大题标准写法，填空也可用）

步骤 1：求原点 O 到直线 l 的距离 d

点  到直线  距离公式：

代入 ，直线 ：

注意：由三角恒等式 ，无论  取何值，原点到这条直线距离恒等于 1。

直线  的几何含义：圆心为 ，半径为 1 的圆的切线。

步骤 2：求弦长 

圆弦长公式：，大圆半径 

步骤 3：求三角形面积

 以弦  为底，原点到直线的距离  为高：

解法 2：巧解（切线几何意义 + 特殊值代入，填空秒解）

直线 ：是圆心在原点、半径为 1 的圆的切线，原点到直线距离恒为 1。

大圆半径固定为 2，因此弦长  为定值， 面积与参数  无关，面积为定值。

取特殊值：令 直线方程变为：

联立大圆 ：，得交点 

，原点到直线距离 

解法对比

✅ 最优应试选择：填空题优先特殊值法；解答题使用常规弦长公式法

应试技巧

1. 看到直线形式 ，立刻识别：这是圆心在原点、半径  的圆的切线方程，原点到直线距离恒等于 ； 是这个模型的核心。
2. 填空题带参数，求面积、长度这类定值：优先特殊值代入快速算出结果。
3. 顶点在圆心的圆内接三角形：面积优先选用 。

解题总结

1. 直线  是单位圆  的切线，原点到直线距离恒为 1；
2. 圆心在原点，弦长公式：；
3. 顶点在圆心的  面积：；
4. 含参数求定值小题：特殊值法是考场提速利器。

答案：