高三二轮复习·立体几何的计算专题
- 2026-10-25 06:33:03
高三数学二轮复习·立体几何的计算专题
考点题型图谱｜例题解析｜全题型覆盖
适用范围：新高考数学一轮/二轮复习。本专题覆盖三视图与表面积体积、空间角、点到平面距离、空间向量坐标法、折叠问题、球与接切六大模块，共 14 道例题 + 24 道课后练习，公式均为可编辑的原生 OMML 对象。
注：部分省份新高考已经删除三视图部分，请结合自己所在省份进行取舍！
很多同学立体几何“看得懂、算不对”：三视图还原错、体积公式漏一项、线面角用成 cos、球的切接无从下手。这一讲不教你怎么“想”，只教你怎么“算”——把该拿的分，稳稳算到手。
🔑 一、六大考点，先画“地图”
① 三视图与表面积、体积：还原图形是第一步，组合体别漏面、别多面。
② 空间角：异面直线角、线面角、二面角，公式各不同，最易混。
③ 点到平面距离：建系用法向量，或等体积法“换底”。
④ 空间向量坐标法：以算代证，平行垂直证明也能算。
⑤ 折叠问题：抓“不变量”，折起后长度、垂直关系不变。
⑥ 球与接切（本轮重点）：外接球、内切球、球内接柱锥的最值。
金句：立体几何计算，输赢不在“想得多巧”，而在“图还得对、公式套得准”。
表1 六大考点模块 · 常考题型 · 频率 · 破题钥匙
考点模块 | 常考题型 | 频率 | 破题钥匙 |
① 三视图与表面积、体积 | 还原几何体；求表面积/体积；组合体拆分 | 高 | 长对正、高平齐、宽相等；俯视图定底面形状与顶点投影；组合体拆成柱、锥、球分别算再加减 |
② 空间角 | 异面直线所成角；线面角；二面角 | 高 | 平移或补形化归到同一三角形；坐标法中 |
③ 点到平面的距离 | 求距离；等体积法求高 | 中 | 坐标法 |
④ 空间向量坐标法 | 建系写坐标；求法向量；证平行垂直 | 高 | 有线面垂直且交线互相垂直才建系；法向量用向量积或方程组，令一个坐标为 1 最省力 |
⑤ 折叠问题 | 折起求角、距离、体积；找不变量 | 中 | 折痕同侧的长度、垂直、平行关系不变；折起面始终垂直于折痕；体积最大折起面垂直于底面 |
⑥ 球与接切 | 外接球半径；内切球；截面圆 | 中 | 球心到各顶点等距；取轴截面（底 2r、高 h的等腰三角形）用， |
表2 六类母题 · 题型识别 · 标准动作
母题 | 题型识别 | 标准动作 |
三视图母题 | 给出三视图求面积、体积、尺寸 | 对投影定底面→ 数格子得棱长 → 判柱、锥、球 → 代公式 |
空间角母题 | 求异面直线角、线面角、二面角 | 建系→ 写方向向量与法向量 → 算夹角 → 按定义取锐角或直角 |
距离母题 | 点到面距离、体积反求高 | 法向量式距离；或选易求的面用等体积法解出高 |
折叠母题 | 沿一条线折起，求角、距离、体积 | 抓不变量（折痕垂线、平行线）→ 折后重新判垂直 → 建系或几何法 |
外接球母题 | 求多面体外接球半径 | 定球心（到各顶点等距）→ 取轴截面 → |
最值母题 | 体积、距离、角的最大值 | 设参数表出目标量→ 二次函数、不等式或三角法求最值 → 回代验位置 |
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