包头市一模数学试卷（试题部分）

试卷类型: A

绝密 启用前

2026年普通高等学校招生全国统一考试（第一次模拟考试）

数 学

注意事项:

1. 考生答卷前,务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上。将条形码粘贴在规定区域。本试卷满分150分,考试时间120分钟。
2. 做选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡的规定区域内,写在本试卷上无效。
4. 考试结束后,将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若i为虚数单位，则(1+i)(1+i)=
A. 2    B. 0    C. 2+2i    D. 2-2i

2. 设全集U=R，集合A={x | -1 < x < 4}，B={x | y=ln(x-2)}，则A∩(C_UB)=
A. (-∞, 4)    B. (2, 4)    C. (-1, +∞)    D. (-1, 2]

3. 若a,b为非零向量，则"a//b"是"|a+b|=|a|+|b|"的
A. 必要不充分条件  B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件  D. 充要条件

4. 记S_n为正项等比数列{a_n}的前n项和，已知4S_n=5(a₈+a₉)，则该数列的公比为
A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

5. 边长为2的等边三角形ABC的外心为O，则OA·AB=
A. -2    B. 2    C. 2√3    D. -√3

6. 已知直线l:3x+4y-2=0与圆C:x²+y²-2x-2y-2=0相交于A,B两点，则劣弧AB的长为
A. π/2    B. π    C. 2π    D. 3π/2

7. 已知函数f(x)={ -x+4x, x≤4; log₂(x-3), x>4 }，若关于x的方程f(x)=t有四个实根x₁,x₂,x₃,x₄ (x₁A. x₂+x₃=9    B. 0<t≤4    c. ln((x₃-4)="" (x₄-4))="" <="" span="">

8. 袋中有9个除了颜色外完全相同的小球，其中有3个白球，2个红球，4个黄球，从中不放回地取球，每次取一个球，当三种颜色的球都取到时停止，记停止时取出的球的个数为X，则P(X=5)=
A. 1/21    B. 3/64    C. 13/63    D. 4/63

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 已知函数f(x)=3tan(2x-π/4)+1，则
A. f(π/8)=4    B. f(x)的最小正周期为π/2
C. f(x)图象的对称中心为(kπ/2+π/8, 1) (k∈Z)
D. 不等式f(x)≤4的解集为{x | kπ/2-π/8 ≤ x ≤ kπ/2+3π/8, k∈Z}

10. 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差为d，首项为a₁，若S₉>S₁₀且S₁₅<0，则下列结论正确的是
A. d<0    B. 当n=5时，S_n取最大值
C. |a₅| < |a₆|    D. 数列{a_n/n}为等差数列并且与数列{a_n}具有相同的单调性

11. 在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=AA₁=1，点E为CC₁的中点，点P为平面ADD₁A₁内的一个动点（含边界），则
A. B₁E//平面A₁BD    B. 四棱锥E-BB₁D₁D的外接球的表面积为8π
C. 平面ABE⊥平面A₁B₁E    D. 若PE⊥AC，则点P的运动轨迹长度为√2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知函数f(x)=2lnx-(a/x)的图象在x=1处的切线与直线x-4y-2=0垂直，则a=______

13. 已知某圆锥的母线长为4，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为______

14. 已知椭圆C₁:x²/a²+y²/b²=1和双曲线C₂:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)有公共焦点F₁,F₂ (F₁为左焦点)，C₁与C₂在第三象限交于点M，直线MF₁交y轴于点N，且F₂N平分∠MF₁F₂，则C₂的离心率为______

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. (13分) 数列{a_n}的前n项和S_n=n(n+1)，数列{b_n}满足b₁b₂...b_n=2^n(n+1)/2 (n∈N^*)。
(1) 求数列{a_n},{b_n}的通项公式；
(2) 将数列{a_n}和数列{(-1)ⁿb_n}各取前100项，按从小到大排成一个新的数列{d_n}，其中重复的数只取一次，求数列{d_n}的前100项和。

16. (15分) 随着人工智能的快速发展，它在社会生活中的应用将越来越广泛。某AI科技公司发明了一套人机交互软件，对用户输入的问题它会从数据库中自动检索并生成答案进行应答。大量试验统计表明，如果输入的问题没有语法错误，则软件生成正确答案的概率为85%；若出现语法错误，则软件生成正确答案的概率为35%。已知用户每次输入的问题没有语法错误的概率为90%，且对于每次输入的问题软件生成正确答案相互独立。
(1) 求用户输入一个问题软件生成正确答案的概率；
(2) 在某次试验中，用户输入n(n>8)个问题，记其中软件生成正确答案的个数为X，事件X=k (k=0,1,2,...,n)的概率为P(X=k)。当n取何值时，P(X=8)的值最大？

17. (15分) 如图，在棱长为6√2的正四面体A-BCD中，E为棱BC的中点。
(1) 证明：BC⊥平面AED；
(2) 记O为正四面体A-BCD内切球的球心。
(i) 求内切球O的半径r；(写出推导过程，直接写结果不给分)
(ii) 设P是球O的球面上一点，且OP⊥平面BCD，当∠ADP最小时，求二面角A-PD-B的正弦值。

18. (17分) 已知平面直角坐标系xOy上一动点Q满足|QE|-|QF|=2√2，E(-3,0)，F(3,0)。
(1) 求点Q的轨迹曲线C的方程；
(2) 斜率为-1的直线与曲线C交于A,B两点且点P(2,1)。
(i) 求直线AP,BP的斜率之和；
(ii) △PAB的外接圆圆心M是否在某定直线上？说明理由。

19. (17分) 已知函数f(x)=(x-a)e^x-bx²+a，其中a和b都是实数。
(1) 当b=0时，若f(x)的图象与x轴相切，求a的值；
(2) 当a=1时，若f(x)在(0,+∞)有一个零点，求b的取值范围；
(3) 设数列{x_n}满足x₁=1，x_n+1=1-1/(x_n+1)，证明：2/(x₁+2)+2/(x₂+2)+...+2/(x_n+2) < 1。