七下复习题8:五个小正方形怎样剪拼?数轴上找√5
- 2026-09-29 07:42:19
教材原题｜复习题8 拓广探索第11题
（1）怎样把由5个边长为1的小正方形组成的图形（如图）剪拼成一个大正方形？ （2）在数轴上画出这个大正方形的边长所对应的点。
同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第八章《实数》第62页。看见十字形，先别急着下剪刀。我们可以先用面积算出目标边长，再设计剪拼，最后把这个长度搬到数轴上。两问之间，藏着“图形—长度—实数”的联系。
先猜一猜
五个小正方形，每个边长是1，拼成的大正方形边长会是5吗？一定要把五个小正方形完整地排在一起吗？边长不是整数，就没办法准确拼出来吗？带着这三个问题往下看。
01 · 面积不变，先确定目标
先算面积：目标边长为什么是√5？
每个小正方形的面积是1×1＝1，五个小正方形没有重叠，总面积就是5。剪拼时，只要没有丢掉纸片、没有重叠、也没有留下空隙，面积就不会改变。
设大正方形的边长为s，则s²＝5。由于边长是正数，所以s＝√5。这里取的是算术平方根，不能把边长写成±√5，也不能把面积5直接当成边长。
又因为2²＝4，3²＝9，而4＜5＜9，所以2＜√5＜3。这个范围先帮我们判断：拼成的边长应比两条小正方形边长稍长，但不到三条。
02 · 四条切线，得到五块纸片
怎样剪？四个外侧小三角形是关键
下面给出一种只需剪下四个小三角形的方法。先把十字形摆正，中间一个小正方形，上、下、左、右各有一个。图中的小正方形边界只是辅助线，不需要全部剪开。
看最上面的小正方形：把它的左上角记为A，在它的右边取中点E，连接AE。沿AE剪下右上角的小直角三角形。它的两条直角边分别长1和半个单位。
接着把同样的画法绕十字形中心每次转四分之一圈，分别用在右、下、左三个外侧小正方形上。这样共剪下四个大小、形状完全相同的小三角形，剩下的中间部分仍是一整块。
03 · 移动四小块，中间大块不动
怎样拼？绕中点转半圈，补上缺口
先处理最上面剪下的小三角形：以E为中心，把它在纸面内转半圈，放进右上方的凹口。转动后，一条短直角边与原图的短边接合，长直角边贴着右侧小正方形的上边。
另外三块也分别绕各自切线上的边中点转半圈，依次补进右下、左下、左上的凹口。图中相同颜色表示同一块纸片移动前后的位置；中间的大块保持不动。
注意，是转动剪下的小三角形，不是把整张十字形翻面。四个凹口都补齐后，外轮廓就成为一个倾斜的大正方形。可以先不粘胶，摆好后检查接缝是否严密。
为什么拼出来的确实是正方形？
首先，切线两侧衔接的斜边方向一致，拼接后形成四条直边。四块小三角形完全相同，四个方向的拼法也相同，因此这四条外边等长。
其次，每个外角对应的内部夹角，都是这种直角三角形的两个锐角之和，等于90°。所以拼成的四边形四边相等、四角都是直角，是正方形。仅凭“看起来像”还不够。
最后检查面积：原来的五个单位正方形全部保留，拼接没有重叠或空隙，总面积仍为5，因此边长正是√5，与开头的计算一致。
失分提醒｜算出边长，不等于完成剪拼
第（1）问要求说明怎样剪、怎样拼，只写“面积为5，所以边长为√5”还不完整。需要标明切线、交代纸片的移动方式，并确认拼成的图形是正方形。剪拼题既要有计算，也要有操作依据。
04 · 用圆规搬运长度，不靠小数猜点
数轴上怎样准确找到√5？
画一条数轴，以O为原点，取一个小正方形的边长作为单位长度，标好0、1、2、3。然后用圆规量取拼成的大正方形的一条边，保持开口不变。
把圆规针尖放在O处，在数轴的正半轴上截取点P。因为OP等于大正方形的边长，即√5个单位，所以点P所表示的数就是√5。图中P位于2与3之间，靠近2。
如果同时在负半轴上截取等长的一段，会得到表示－√5的点。但题目问的是大正方形边长所对应的点，边长为正，所以本题应取正半轴上的P。
√5与2.236，能直接画等号吗？
不能。√5是精确值，2.236只是它的近似值。粗略标点时可以用这个小数帮助定位；要说明准确作法，应保留圆规截取长度的过程。无理数的小数写不完，但它在数轴上有确定的位置。
名师方法｜面积定长度，剪拼得图形
先用面积不变确定目标边长；再利用对称布局设计切线、移动纸片；最后统一单位长度，把实际线段转移到数轴上。面积、长度和点的位置，三者要对应起来。
当堂检测
1. 本题大正方形的面积、边长分别是多少？ 2. √5为什么位于2与3之间？ 3. 若每个小正方形边长改为2，剪拼后的大正方形边长是多少？
想好再看：5、√5；因为4＜5＜9；总面积为20，边长为√20，也就是原来边长的两倍。
内容依据：新人教版七年级下册数学第八章《实数》第62页，复习题8“拓广探索”第11题。原题见文首，剪拼及数轴示意图为教学绘制。
面积守恒，长度可量，无理数也能找到位置。
