前言

今天我们来看一道人大考的不等式证明题，说常规好像也常规，说不常规好像也确实不太常规，你能一次直接证明出来吗？

就问你一句话，一阶导求完之后你发现解不出零点，这个时候你敢求二阶导数吗？

中国人民大学2026年数学分析考研真题

题目

证明：对任意的，有.

解析

令 ，则

由此可知， 在  上单调递减且连续。

又 ，.由介值定理，存在  使得 .

于是在  上  单调递增，在  上  单调递减。因此  可在端点处取得最小值。又 ，所以在  上 .

即

注

由证明过程可知，函数  在  上满足 ，且 .由于  在  严格递增、在  严格递减（其中  为  的根），故对任意  均有 .因此，原不等式  在开区间  上严格成立，而在闭区间  上为 ，等号仅在端点  或  处取得。

• 虽然题目不算难，但是大家做完任何一道题目之后，其实可以多想一点，哪怕只有一点点，这样对大家之后的学习一定是有帮助的哦！

这道15分的证明题，大家能拿下吗？自己一定要先独立做，看是否能做出来？

独立做的时候要注意自己的熟悉程度

如果直接能做出来，那就证明这类题已经完全掌握了；如果能做出来，但想了很长时间，这就是典型的不熟悉的表现，那这类题还是要多多练习，力争达到熟悉的程度。

并不是说一道题你能做出来就可以了，大家毕竟现在要应对各种各样的考试，都是有时间限制的，那肯定要注意自己的熟悉程度啦！