七下复习题11:第二次才停止怎么列式?谁先打水更省时?
- 2026-10-11 08:27:53
教材原题｜复习题11 拓广探索
10. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于85”为一次程序操作。如果某次得到的数小于或等于85，则用得到的这个数进行下一次操作。 程序：输入x → 乘4 → 加1 → 判断是否大于85；是，则停止；否，则用结果继续操作。 （1）如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是多少？ （2）如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是多少？
11. 甲、乙两名同学各提一个水桶在同一个水龙头前打水。如果甲打满一桶水需a min，乙打满一桶水需b min，那么谁先打水，能使两人都打满一桶水所用时间之和（包含等待时间）较少？
同学们，今天两道题的关键都藏在普通词语里。程序题要读懂“才停止”，打水题要读懂“时间之和”。忽略一个词，就可能列出看似合理、实际上不符合题意的不等式。我们先把过程说清楚，再让字母帮助我们比较。
先猜一猜
第二次的结果大于85，就一定是“第二次才停止”吗？两桶水无论谁先打，不都是用a＋b分钟吗，为什么还要比较顺序？先记下自己的想法，读完再检查。
01 · 下一次输入，是上一次的输出
第10题：每一轮程序究竟做了什么？
输入一个数，先乘4，再加1，然后检查结果是否大于85。第一次输入x，输出就是4x＋1。第二次的输入不是原来的x，而是上一轮得到的4x＋1。
所以第二轮若发生，输出应为4(4x＋1)＋1＝16x＋5。不要把它误写成8x＋2：程序不是把第一次的结果简单重复相加，而是将上一次的整个结果再乘4、再加1。
02 · 停止用严格大于，等于时继续
一次就停止：判断条件只有一个
第一次就停，说明第一次输出已经大于85。因此列4x＋1＞85，移项得4x＞84，解得x＞21。
当x＝21时，输出恰好是85，程序还要继续，所以21不能取。这里判断的是“大于85”，不是“大于或等于85”。
03 · “才”字要求前一次没有达到停止条件
两次才停止：必须同时写出两个条件
“两次才停止”包含两层意思：第一次没有停止，第二次停止了。前者要求4x＋1≤85，后者要求16x＋5＞85。
分别求解，得到x≤21和x＞5。取它们的公共部分，就是5＜x≤21。这是第（2）问的答案，左端点不能取，右端点可以取。
如果只写第二次输出大于85，就只能得到x＞5，会把第一次已经停止的输入也算进去。例如x＝22，第一次输出89，程序当时就结束了，根本不会进行第二次。
用端点检验，看看范围有没有写错
取x＝5：第一轮得到21，第二轮得到85，仍未停止，第三轮才得到341并停止，所以5必须排除。
取x＝21：第一轮得到85，继续；第二轮得到341，停止，所以21应该保留。再取范围内部的x＝6，输出依次是25、101，也确实第二次停止。
题目没有要求输入是整数，因此不能只列6至21这些整数。比如x＝5.5，输出依次是23、93，同样满足要求。
04 · 看清比较的量，等待时间属于谁
第11题：区分“全部打完”和“个人时间之和”
按两人都已到场、从同一时刻开始计时，水龙头连续使用来比较。无论谁先打，两桶水全部打完，经过的时间都是a＋b分钟。
但题目问的是两个人各自所用时间的和，而且包含等待。先打的人不需要等，后打的人要先等前面那个人打完，再打自己的水。这部分等待也必须计入后打者的时间。
分别列出两种顺序，再作差比较
甲先打：甲用a分钟，乙等待a分钟后再打b分钟，用a＋b分钟。两人的时间之和为a＋(a＋b)＝2a＋b。
乙先打：乙用b分钟，甲等待b分钟后再打a分钟，用a＋b分钟。时间之和为b＋(a＋b)＝a＋2b。
用“甲先”的总和减去“乙先”的总和，得（2a＋b）−（a＋2b）＝a−b。因此只要比较a与b，就能判断哪种顺序更合适。
谁先打水，时间之和较少？
若a＜b，甲打水用时较短，应让甲先打；若a＞b，乙用时较短，应让乙先打；若a＝b，两种顺序的时间之和相等。
结论是：让打满一桶水所需时间较短的人先打，可以减少两个人包含等待在内的时间之和；用时相同时，顺序不影响结果。这里a、b都是正数。
举个小例子：省下的到底是什么？
假设甲需2分钟、乙需5分钟。甲先时，甲2分钟完成，乙7分钟完成，合计9分钟；乙先时，乙5分钟完成，甲7分钟完成，合计12分钟。
全部打完都经过7分钟，但两个人的时间之和相差3分钟。减少的是等待时间，并不是水龙头把水放得更快了。用这两个不同的量对照，就不会觉得答案矛盾。
失分提醒｜不能默认a比b小
题目只用字母表示用时，没有说明谁更快，所以答案必须分类讨论，不能直接说甲先或乙先。也不要把“时间之和”只写成a＋b，那样漏掉了后打者的等待。
名师方法｜把过程拆开，把比较对象写准
遇到“第几次才达到”，先写前一步未达到、这一步达到；遇到先后顺序，分别列每个人的用时，再求和作差。文字中的限制要齐全，字母的大小未知时要分类，端点和相等情况都别漏。
当堂检测
1. 输入21，程序第几次停止？ 2. 输入22，能说第二次才停止吗？ 3. 甲需3分钟、乙需4分钟，谁先打更好，时间之和是多少？
想好再看：第二次；不能，第一次就停止；甲先，时间之和为3＋7＝10分钟。
内容依据：新人教版七年级下册数学第十一章《不等式与不等式组》第145页，复习题11“拓广探索”第10、11题。
读准一个“才”，算清一段“等”。
