八上复习题15:中点怎样证?两次对称为何变成平移?

教材原题｜复习题15 拓广探索

13. 如图，△ABC是等腰三角形，AC＝BC，△BCD和△ACE是等边三角形，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G。求证：G为AB的中点。

14. 如图，直线l₁，l₂是两条平行的直线，图形G是一条封闭的曲线。先作图形G关于直线l₁对称的图形，得到图形G₁，再作图形G₁关于直线l₂对称的图形，得到图形G₂。图形G₂可以由图形G平移得到吗？如果可以，平移的方向与直线l₁，l₂有什么关系？平移的距离与这两条直线之间的距离有什么关系？

同学们，轴对称不仅用来画图，还能帮助我们证明一个点的位置，解释整个图形怎样移动。这两题的共同方法是追踪对应关系：第一次对称把谁变成谁，接下来的线、交点和图形又发生什么变化？

先猜一猜

第13题，左右的等边三角形看起来成对出现，交点F会不会就在等腰三角形的对称轴上？第14题，一次翻折会改变朝向，连续翻折两次之后，图形是否恢复原来的朝向，只是换了位置？

01 · 先找对应点，再找对应线，最后看交点

第13题分析：先找真正的对称轴

分析：要求证G是AB中点，可以先另取AB的中点H，再研究直线CH。这样既能利用等腰三角形的对称性，又不会提前把要证明的G当成中点。

关于CH对称，A与B互相对应，C保持不动。按题图位置构造的等边三角形BCD，会变成等边三角形ACE，因此D与E也互相对应。接着，线段BD与AE互相对应，它们唯一的交点F就只能落在对称轴上。

第13题证明｜先证F在轴上，再确定G

证明：取AB的中点H，连接CH。 在△ACH和△BCH中， 　AC＝BC， 　AH＝BH， 　CH＝CH， ∴ △ACH≌△BCH（SSS）。 ∴ ∠AHC＝∠BHC。

∵ A、H、B共线， ∴ ∠AHC＋∠BHC＝180°， ∴ ∠AHC＝∠BHC＝90°。 ∴ CH是AB的垂直平分线。

关于直线CH作轴对称，点A与B互相对应，点C不动。 ∵ △BCD、△ACE是按题图位置构造的等边三角形， ∴ △BCD的对称图形是△ACE，点D与E互相对应。 ∴ 线段BD与AE互相对应。

∵ F是BD与AE的唯一交点， ∴ F的对称点仍为F， ∴ F在直线CH上。 ∴ 直线CF与CH重合。 又∵ CF与AB交于G，CH与AB交于H， ∴ G与H重合。 ∴ AG＝GB，即G为AB的中点。

两个关键理由，不能只靠“看起来对称”

首先，关于CH翻折后，边BC变成AC，等边三角形仍是等边三角形。题图中D与A在直线BC的同侧，翻折后D的像与B在直线AC的同侧，正是E所在的一侧。在给定线段的指定一侧，等边三角形的第三个顶点是确定的，所以D与E的对应有依据。

其次，设F的对称点为F′。因为F同时在BD和AE上，F′也必须同时在它们的对称线段AE和BD上。两线段只有一个交点，因此F′＝F。轴对称中保持位置不变的点在对称轴上，这才是确定F位置的理由。

别把结论当成已知

题目只说CF交AB于G，并没有说CG是中线或高。不能一开始就写AG＝GB，或直接使用三线合一。我们另取中点H，先建立对称轴，再证明G与H重合，才能避免循环论证。

02 · 任取一点，用垂直方向上的数轴计算位移

第14题分析：追踪一个点，代表整个图形

分析：先看图形G上的任意一点X。它关于l₁的对称点为X₁，X₁关于l₂的对称点为X₂。因为两条轴平行，两次对应点连线都垂直于这两条轴，所以X、X₁、X₂在同一条垂线上。

设两条直线之间的距离为d。沿这条垂线建立数轴，以它与l₁的交点为原点，朝l₂的一侧为正方向，那么两条轴的位置分别对应0和d。设X的位置数为t，就能用学过的坐标对称规律追踪两次变化。

第14题解答｜垂直于两轴，向第二条轴平移2d

解：X关于位置为0的轴对称，位置数由t变为－t； 再关于位置为d的轴对称，位置数变为 2d－（－t）＝2d＋t。 ∴ X₂与X的位置数之差为 （2d＋t）－t＝2d。

因此，每一点都沿垂直于l₁、l₂的方向，朝从l₁指向l₂的一侧移动相同的距离2d。图形G₂可以由图形G平移得到，平移距离等于两条平行直线间距离的两倍。

这里的方向由两条轴的先后顺序决定。若先关于l₂对称，再关于l₁对称，平移方向会反过来，距离仍为2d。不是只要画出两条平行线，就可以忽略翻折顺序。

平行线之间的距离怎样量？

必须沿垂直于两条直线的方向量，不能任意连一条斜线当作间距。题图中的两条轴竖直，平移方向就是水平；如果两条轴一起倾斜，平移方向也随之改变，始终与它们垂直。

名师方法｜把整体变化落实到对应点

遇到对称构图，先写出顶点对应，再确定线段与交点对应；遇到连续变换，先取一个任意点，逐步记录它的位置。只有证明所有点都沿同一方向移动相同距离，才能把整个变化判断为平移。

当堂检测

1. 第13题为什么要另取中点H？ 2. 两条平行轴相距3厘米，连续两次对称后的平移距离是多少？ 3. 只知道图形朝向恢复，能直接证明它是平移得到的吗？

想好再看：避免提前使用G是中点这一结论；6厘米；不能，还要说明所有对应点的移动方向与距离一致。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十五章《轴对称》第93页，复习题15“拓广探索”第13、14题。