*2027硕士招考高数内容与模拟

一、内容概要

（一）函数、极限、连续

1.函数的概念与表示法，基本初等函数的性质与图像，初等函数、分段函数和隐函数

2.数列极限与函数极限的概念及其性质，求极限的常用方法（左右极限、四则运算、单调有界准则、夹逼准则、两个重要极限、等价无穷小）

3.函数连续的概念（含左连续与右连续），判断间断点类型，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值定理、介值定理）及其应用

（二）一元函数微分学

1.导数与微分的概念及其关系，函数的可导性与连续性之间的关系，导数的几何意义

2.导数与微分的计算方法（四则运算、复合、简单函数的高阶导数、一阶微分形式不变性），分段函数、隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数，洛必达法则求未定式极限

3.罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理和柯西中值定理及其简单应用

4.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性和求极值，函数最大值和最小值的求法及其应用，用导数判断函数图形的凹凸性，函数图形的描绘

5.曲率、曲率圆与曲率半径及其计算

（三）一元函数积分学

1.原函数和不定积分、定积分的概念与基本性质，定积分中值定理，换元积分法与分部积分法

2.有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的积分，积分上限函数的概念及其导数，牛顿-莱布尼茨公式

3.反常积分的概念及其简单计算，反常积分收敛的比较判别法

4.定积分的应用（平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心、函数的平均值）

（四）向量代数与空间解析几何

1.向量的概念及其基本运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两向量平行与垂直的条件

2.单位向量、方向数与方向余弦，用向量的坐标表达式进行计算

3.平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，平面方程与直线方程的求法，平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交），点到直线及点到平面的距离

4.曲面方程的概念，二次曲面方程及其图形，简单柱面与旋转曲面方程

5.空间曲线方程的概念（含参数方程和一般方程），空间曲线在坐标平面上的投影

（五）多元函数微分学

1.多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限与连续，有界闭域上连续函数的性质

2.偏导数与全微分的概念（全微分形式不变性），全微分存在的必要条件和充分条件，方向导数与梯度的求法

3.多元复合函数一阶、二阶偏导数的计算，隐函数存在定理及其偏导数计算

4.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线的概念及其方程

5.二元函数的泰勒公式，多元函数的极值与条件极值，最值问题及其简单应用

（六）多元函数积分学

1.二重积分与三重积分的概念、性质，二重积分的中值定理，二重积分的直角坐标与极坐标计算，三重积分的直角坐标、柱面坐标与球坐标计算

2.两类曲线积分的概念、性质及其关系，计算两类曲线积分的方法，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数全微分的原函数

3.两类曲面积分的概念、性质及其关系，计算两类曲面积分的方法，用高斯公式计算曲面积分，用斯托克斯公式计算曲线积分

4.散度与旋度的概念及其计算，用重积分、曲线积分与曲面积分求一些几何量与物理量

（七）无穷级数

1.常数项级数收敛、发散及收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件，几何级数与  级数的收敛与发散的条件

2.正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法、根值判别法以及积分判别法，交错级数的莱布尼茨判别法，任意项级数的绝对收敛与条件收敛，绝对收敛与收敛的关系

3.函数项级数的收敛域及和函数的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，幂级数在收敛区间内的连续性、逐项求导和逐项积分，求幂级数在收敛区间内的和函数，以及由此求出某些数项级数的和

4.函数展开为泰勒级数的充要条件，一些基本初等函数的麦克劳林展开式，并用之将一些简单函数展开为幂级数

5.傅立叶级数的概念与狄利克雷收敛定理，将  上的函数展开成傅立叶级数，将  上的函数展开成正弦级数和余弦级数，傅立叶级数的和函数

（八）常微分方程

1.微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念，变量可分离的微分方程与一阶线性微分方程的解法，求解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，以及用简单变量代换解某些微分方程

2.用降阶法解下列形式的微分方程：

3.线性微分方程解的性质及解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的求解，自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

4.欧拉方程的求解，微分方程的一些简单应用